гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого
Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна 13 см, а один из катетов на 7 см больше другого, мы можем использовать теорему Пифагора. Она утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
где \( a \) и \( b \) — это катеты, а \( c \) — гипотенуза.
Шаг 1: Введем переменные
Пусть:
- \( x \) — длина меньшего катета.
- \( x + 7 \) — длина большего катета (так как он на 7 см больше).
Шаг 2: Подставим известные значения в формулу
Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:
\[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \]
Шаг 3: Развернем квадрат
Развернем выражение \((x + 7)^2\):
\[ (x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49 \]
Подставим это в уравнение:
\[ x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Объединим подобные члены:
\[ 2x^2 + 14x + 49 = 169 \]
Теперь перенесем 169 в левую часть уравнения:
\[ 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 \]
Упростим:
\[ 2x^2 + 14x - 120 = 0 \]
Шаг 5: Разделим все уравнение на 2
Это упростит вычисления:
\[ x^2 + 7x - 60 = 0 \]
Шаг 6: Найдем корни уравнения
Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 1 \), \( b = 7 \), \( c = -60 \):
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2} \]
Это дает два корня:
- \( x = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x = \frac{-24}{2} = -12 \) (отрицательный корень не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
Шаг 7: Найдем длины катетов
Теперь, когда мы знаем \( x = 5 \):
- Меньший катет: \( x = 5 \) см
- Больший катет: \( x + 7 = 5 + 7 = 12 \) см
Ответ:
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.
