Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна 13 см, а один из катетов на 7 см больше другого, мы можем использовать теорему Пифагора. Она утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
где ( a ) и ( b ) — это катеты, а ( c ) — гипотенуза.
Шаг 1: Введем переменные
Пусть:
- ( x ) — длина меньшего катета.
- ( x + 7 ) — длина большего катета (так как он на 7 см больше).
Шаг 2: Подставим известные значения в формулу
Согласно теореме Пифагора, мы можем записать:
[
x^2 + (x + 7)^2 = 13^2
]
Шаг 3: Развернем квадрат
Развернем выражение ((x + 7)^2):
[
(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49
]
Подставим это в уравнение:
[
x^2 + x^2 + 14x + 49 = 169
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Объединим подобные члены:
[
2x^2 + 14x + 49 = 169
]
Теперь перенесем 169 в левую часть уравнения:
[
2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0
]
Упростим:
[
2x^2 + 14x - 120 = 0
]
Шаг 5: Разделим все уравнение на 2
Это упростит вычисления:
[
x^2 + 7x - 60 = 0
]
Шаг 6: Найдем корни уравнения
Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 7 ), ( c = -60 ):
[
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289
]
Теперь находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 17}{2}
]
Это дает два корня:
- ( x = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x = \frac{-24}{2} = -12 ) (отрицательный корень не подходит, так как длина не может быть отрицательной).
Шаг 7: Найдем длины катетов
Теперь, когда мы знаем ( x = 5 ):
- Меньший катет: ( x = 5 ) см
- Больший катет: ( x + 7 = 5 + 7 = 12 ) см
Ответ:
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.
