Вычисли sin ⁡ α sinα , зная, что tg ⁡ α = − 4 tgα=−4 и π 2 < α < π . 2 π <α<π. Выбери верный вариант. 1 17 17 1 − 1 17 − 17 1 4 17 17 4 − 4 17 − 17 4

Чтобы вычислить \(\sin \alpha\), зная, что \(\tan \alpha = -4\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), выполним следующие шаги:

Шаг 1: Определим отношение сторон

Мы знаем, что \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Если \(\tan \alpha = -4\), то это значит, что: \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -4 \] Это можно записать как: \[ \sin \alpha = -4 \cos \alpha \]

Шаг 2: Определим четверть, в которой находится угол

Уголь \(\alpha\) находится в третьей квадранте (\(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)). В этом квадранте \(\sin \alpha < 0\) и \(\cos \alpha < 0\). Следовательно, оба значения будут отрицательными.

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

Используем тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставляем \(\sin \alpha = -4 \cos \alpha\): \[ (-4 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] Это даст: \[ 16 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ 17 \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{17} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} \quad (\text{так как } \cos \alpha < 0) \]

Шаг 4: Найдем \(\sin \alpha\)

Заменяем \(\cos \alpha\) в уравнении для \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = -4 \cos \alpha = -4 \left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \frac{4}{\sqrt{17}} \]

Шаг 5: Записываем ответ

Существует необходимость выразить результат в одной из предложенных форм. Для этого представим \(\sin \alpha\) в заданном формате: \[ \sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17} \]

Таким образом, правильный ответ — это \(\frac{4}{17}\).

Вывод

Можем выбрать вариант:

• Вариант 3: \(\frac{4}{17}\)

Таким образом, \(\sin \alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}\) с учетом всех вышеперечисленных шагов и объяснений.