Чтобы вычислить (\sin \alpha), зная, что (\tan \alpha = -4) и (\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Определим отношение сторон
Мы знаем, что (\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}). Если (\tan \alpha = -4), то это значит, что:
[
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -4
]
Это можно записать как:
[
\sin \alpha = -4 \cos \alpha
]
Шаг 2: Определим четверть, в которой находится угол
Уголь (\alpha) находится в третьей квадранте ((\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi)). В этом квадранте (\sin \alpha < 0) и (\cos \alpha < 0). Следовательно, оба значения будут отрицательными.
Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество
Используем тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставляем (\sin \alpha = -4 \cos \alpha):
[
(-4 \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1
]
Это даст:
[
16 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
[
17 \cos^2 \alpha = 1
]
[
\cos^2 \alpha = \frac{1}{17}
]
[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{1}{17}} = -\frac{1}{\sqrt{17}} \quad (\text{так как } \cos \alpha < 0)
]
Шаг 4: Найдем (\sin \alpha)
Заменяем (\cos \alpha) в уравнении для (\sin \alpha):
[
\sin \alpha = -4 \cos \alpha = -4 \left(-\frac{1}{\sqrt{17}}\right) = \frac{4}{\sqrt{17}}
]
Шаг 5: Записываем ответ
Существует необходимость выразить результат в одной из предложенных форм. Для этого представим (\sin \alpha) в заданном формате:
[
\sin \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}} = \frac{4\sqrt{17}}{17}
]
Таким образом, правильный ответ — это (\frac{4}{17}).
Вывод
Можем выбрать вариант:
- Вариант 3: (\frac{4}{17})
Таким образом, (\sin \alpha = \frac{4\sqrt{17}}{17}) с учетом всех вышеперечисленных шагов и объяснений.
