Чтобы найти (\cos \alpha), зная, что (\cot \alpha = 10) и (\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}), давайте начнем с вычисления (\sin \alpha) и (\cos \alpha) на основе значения (\cot \alpha).
Шаг 1: Понять связь между тригонометрическими функциями
(\cot \alpha) (котангент) определяется как:
[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
]
Отсюда можно выразить (\cos \alpha) через (\sin \alpha):
[
\cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha
]
Так как (\cot \alpha = 10), значит:
[
\cos \alpha = 10 \cdot \sin \alpha
]
Шаг 2: Использовать тригонометрическую тождество
Также помним, что для любого угла (\alpha\ выполняется тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставим выражение для (\cos \alpha):
[
\sin^2 \alpha + (10 \cdot \sin \alpha)^2 = 1
]
[
\sin^2 \alpha + 100 \sin^2 \alpha = 1
]
[
101 \sin^2 \alpha = 1
]
[
\sin^2 \alpha = \frac{1}{101}
]
[
\sin \alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{101}}
]
Шаг 3: Определить знак функции
Поскольку угол (\alpha) находится в третьей четверти ((\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2})), (\sin \alpha) будет отрицательным:
[
\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{101}}
]
Шаг 4: Найти (\cos \alpha)
Теперь подставим (\sin \alpha) обратно в формулу для (\cos \alpha):
[
\cos \alpha = 10 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{101}}\right) = -\frac{10}{\sqrt{101}}
]
Шаг 5: Проверка формата ответа
Вычислим (\cos \alpha) в приближенном формате, который мог бы дать варианта из задания. Мы знаем, что (\sqrt{101} \approx 10.05). Таким образом:
[
\cos \alpha \approx -\frac{10}{10.05} \approx -0.995
]
Это делает предполагаемое значение в диапазоне, подобном каждому из вариантов, предложенных в задании.
Заключение
Верным вариантом ответа будет:
[
\cos \alpha = -\frac{10}{\sqrt{101}} \quad (\text{что соответствует } -10 \div 101)
]
Итак, искомый ответ:
- (\boxed{-10} ) (из приведённых вариантов можно выбрать именно его).
