Вычисли cos ⁡ α cosα , зная, что ctg ⁡ α = 10 ctgα=10 и π < α < 3 π 2 . π<α< 2 3π . Выбери верный вариант. 101 101 101 101 − 101 101 − 101 101 10 101 101 101 10 101 − 10 101 101 −…

Чтобы найти \(\cos \alpha\), зная, что \(\cot \alpha = 10\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), давайте начнем с вычисления \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) на основе значения \(\cot \alpha\).

Шаг 1: Понять связь между тригонометрическими функциями

\(\cot \alpha\) (котангент) определяется как: \[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Отсюда можно выразить \(\cos \alpha\) через \(\sin \alpha\): \[ \cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha \] Так как \(\cot \alpha = 10\), значит: \[ \cos \alpha = 10 \cdot \sin \alpha \]

Шаг 2: Использовать тригонометрическую тождество

Также помним, что для любого угла \(\alpha\ выполняется тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Подставим выражение для \(\cos \alpha\): \[ \sin^2 \alpha + (10 \cdot \sin \alpha)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + 100 \sin^2 \alpha = 1 \] \[ 101 \sin^2 \alpha = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{101} \] \[ \sin \alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{101}} \]

Шаг 3: Определить знак функции

Поскольку угол \(\alpha\) находится в третьей четверти (\(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)), \(\sin \alpha\) будет отрицательным: \[ \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{101}} \]

Шаг 4: Найти \(\cos \alpha\)

Теперь подставим \(\sin \alpha\) обратно в формулу для \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = 10 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{101}}\right) = -\frac{10}{\sqrt{101}} \]

Шаг 5: Проверка формата ответа

Вычислим \(\cos \alpha\) в приближенном формате, который мог бы дать варианта из задания. Мы знаем, что \(\sqrt{101} \approx 10.05\). Таким образом: \[ \cos \alpha \approx -\frac{10}{10.05} \approx -0.995 \] Это делает предполагаемое значение в диапазоне, подобном каждому из вариантов, предложенных в задании.

Заключение

Верным вариантом ответа будет: \[ \cos \alpha = -\frac{10}{\sqrt{101}} \quad (\text{что соответствует } -10 \div 101) \]

Итак, искомый ответ:

• \(\boxed{-10} \) (из приведённых вариантов можно выбрать именно его).