Реши уравнение. 1 + 6 cos 2 4 β = cos 4 β + 6 ( 1 − sin 4 β ) ( 1 + sin 4 β ) 1+6cos 2 4β=cos4β+6(1−sin4β)(1+sin4β) Запиши в поле ответа значение корня в градусах,…
Реши уравнение. 1 + 6 cos 2 4 β = cos 4 β + 6 ( 1 − sin 4 β ) ( 1 + sin 4 β ) 1+6cos 2 4β=cos4β+6(1−sin4β)(1+sin4β) Запиши в поле ответа значение корня в градусах, принадлежащее промежутку ( 9 0 ∘ ; 27 0 ∘ ) . (90 ∘ ;270 ∘ ).
Чтобы решить уравнение
\[ 1 + 6 \cos^2(4\beta) = \cos(4\beta) + 6(1 - \sin(4\beta))(1 + \sin(4\beta)), \]
начнем с упрощения правой части уравнения. Мы знаем, что \( (1 - \sin(4\beta))(1 + \sin(4\beta)) = 1 - \sin^2(4\beta) = \cos^2(4\beta) \). Следовательно, можно переписать уравнение так:
\[ 1 + 6 \cos^2(4\beta) = \cos(4\beta) + 6 \cos^2(4\beta). \]
Теперь объединим похожие члены:
\[ 1 + 6 \cos^2(4\beta) - 6 \cos^2(4\beta) = \cos(4\beta), \]
что приводит к:
\[ 1 = \cos(4\beta). \]
Теперь мы решим уравнение \( \cos(4\beta) = 1 \). Это означает, что значение \( 4\beta \) может принимать значения, при которых косинус равен 1. Эти значения записываются следующим образом:
\[ 4\beta = 2k\pi, \]
где \( k \) — целое число. Для получения значения \( \beta \), мы делим обе стороны на 4:
\[ \beta = \frac{k\pi}{2}. \]
Теперь необходимо найти значения \( \beta \), принадлежащие промежутку \( (90^\circ; 270^\circ) \). Поскольку мы работаем с градусами, преобразуем радианы в градусы:
\[ \beta = \frac{k \cdot 180^\circ}{2} = 90k. \]
Теперь подберем значения \( k \):
- Если \( k = 1 \), то \( \beta = 90^\circ \) (не подходит, так как 90 не входит в интервал).
- Если \( k = 2 \), то \( \beta = 180^\circ \) (подходит).
- Если \( k = 3 \), то \( \beta = 270^\circ \) (не подходит, так как 270 не входит в интервал).
В результате, единственное подходящее значение, которое мы нашли, это:
\[ \beta = 180^\circ. \]
Таким образом, окончательный ответ:
\[ 180^\circ. \]
