Для решения этой задачи мы будем использовать принципы комбинаторики и теории вероятностей.
Шаг 1: Определение исходов
У нас есть 12 учеников, которые должны быть распределены по 4 командам по 3 человека. Номера команд представлены в виде следующих карточек: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4. То есть, у нас три карточки с номером 1 (первая команда), три карточки с номером 2 (вторая команда), три карточки с номером 3 (третья команда) и три карточки с номером 4 (четвёртая команда).
Шаг 2: Вычисление общего числа способов распределения
Общее количество способов, которыми 12 учеников могут быть распределены по 4 командам:
[
\text{Общее число способов} = \frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!}
]
Здесь (12!) — это общее количество перестановок 12 учеников, а (3!) для каждой команды — это способ перестановки 3 человек в каждой из команд.
Шаг 3: Вычисление благоприятных исходов (Ольга в первой команде)
Теперь рассчитаем количество способов распределить других 11 учеников, если Ольга уже находится в первой команде. Мы должны выбрать еще 2 ученика для первой команды из оставшихся 11. Затем оставшиеся 9 учеников должны быть распределены по 3 командам.
Выбор 2 учеников для первой команды:
[
\binom{11}{2} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55
]
Когда 2 ученика выбраны, у нас осталось 9 учеников, которых нужно распределить по 3 командам (по 3 человека в каждую):
[
\text{Количество способов} = \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}
]
Шаг 4: Полное количество благоприятных исходов
Теперь общее количество благоприятных исходов, когда Ольга находится в первой команде:
[
\text{Число благоприятных исходов} = \binom{11}{2} \cdot \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!} = 55 \cdot \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}
]
Шаг 5: Вероятность того, что Ольга будет в первой команде
Вероятность (P), что Ольга окажется в первой команде, будет равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
[
P = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число способов}} = \frac{55 \cdot \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}}{\frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!}}
]
Шаг 6: Упрощение выражения
Упрощаем:
[
P = \frac{55 \cdot \frac{9!}{3! \cdot 3! \cdot 3!}}{\frac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 3! \cdot 3!}} = \frac{55 \cdot 9! \cdot 4!}{12!}
]
Помним, что:
[
12! = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!
]
Таким образом,
[
P = \frac{55 \cdot 4!}{12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{55 \cdot 24}{1320} = \frac{1320}{1320} = \frac{1}{10}
]
Ответ
Вероятность того, что Ольга окажется в первой команде, равна (\frac{1}{10}) или 0.1, то есть 10%.
