Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, будем пользоваться формулой суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии.
Формула для суммы первых ( n ) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
где:
- ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов,
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( q ) — знаменатель прогрессии (в нашем случае ( q = -6 )),
- ( n ) — количество членов (в нашем случае ( n = 5 )).
В данной задаче нам известно, что сумма первых пяти членов равна 13332. Подставим известные значения в формулу:
[
13332 = a_1 \frac{1 - (-6)^5}{1 - (-6)}
]
Теперь необходимо рассчитать каждую часть уравнения. Начнем с вычисления ( (-6)^5 ):
[
(-6)^5 = -7776
]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
[
13332 = a_1 \frac{1 - (-7776)}{1 + 6}
]
Упростим выражение:
[
1 - (-7776) = 1 + 7776 = 7777
]
И знаменатель:
[
1 + 6 = 7
]
Таким образом, у нас получается:
[
13332 = a_1 \frac{7777}{7}
]
Теперь упрощаем:
[
\frac{7777}{7} = 1111
]
Теперь у нас есть:
[
13332 = a_1 \cdot 1111
]
Чтобы найти ( a_1 ), разделим обе стороны уравнения на 1111:
[
a_1 = \frac{13332}{1111}
]
Выполним деление:
[
a_1 = 12
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен:
[
\boxed{12}
]
Проверим полученное значение, чтобы убедиться в правильности.
Считаем сумму первых пяти членов, используя найденный первый член ( a_1 = 12 ):
[
S_5 = 12 \frac{1 - (-6)^5}{1 + 6}
]
[
S_5 = 12 \frac{1 + 7776}{7}
]
[
S_5 = 12 \frac{7777}{7}
]
[
S_5 = 12 \cdot 1111 = 13332
]
Сумма действительно равна 13332, значит, нашли верный ответ. Первый член геометрической прогрессии равен ( \boxed{12} ).
