Найди первый член геометрической прогрессии, если сумма первых пяти членов равна 13332 13332 , а знаменатель равен q = − 6 q=−6 .
Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, будем пользоваться формулой суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии.
Формула для суммы первых \( n \) членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
\[ S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]
где:
- \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии (в нашем случае \( q = -6 \)),
- \( n \) — количество членов (в нашем случае \( n = 5 \)).
В данной задаче нам известно, что сумма первых пяти членов равна 13332. Подставим известные значения в формулу:
\[ 13332 = a_1 \frac{1 - (-6)^5}{1 - (-6)} \]
Теперь необходимо рассчитать каждую часть уравнения. Начнем с вычисления \( (-6)^5 \):
\[ (-6)^5 = -7776 \]
Теперь подставим это значение обратно в уравнение:
\[ 13332 = a_1 \frac{1 - (-7776)}{1 + 6} \]
Упростим выражение:
\[ 1 - (-7776) = 1 + 7776 = 7777 \]
И знаменатель:
\[ 1 + 6 = 7 \]
Таким образом, у нас получается:
\[ 13332 = a_1 \frac{7777}{7} \]
Теперь упрощаем:
\[ \frac{7777}{7} = 1111 \]
Теперь у нас есть:
\[ 13332 = a_1 \cdot 1111 \]
Чтобы найти \( a_1 \), разделим обе стороны уравнения на 1111:
\[ a_1 = \frac{13332}{1111} \]
Выполним деление:
\[ a_1 = 12 \]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен:
\[ \boxed{12} \]
Проверим полученное значение, чтобы убедиться в правильности.
Считаем сумму первых пяти членов, используя найденный первый член \( a_1 = 12 \):
\[ S_5 = 12 \frac{1 - (-6)^5}{1 + 6} \] \[ S_5 = 12 \frac{1 + 7776}{7} \] \[ S_5 = 12 \frac{7777}{7} \] \[ S_5 = 12 \cdot 1111 = 13332 \]
Сумма действительно равна 13332, значит, нашли верный ответ. Первый член геометрической прогрессии равен \( \boxed{12} \).
