ABC — правильный треугольник со стороной 303–√. Найди длину вектора AB−→−+AC−→−.

Дано, что ABC — правильный (равносторонний) треугольник с длиной стороны \( a = 303 - \sqrt{3} \). Необходимо найти длину вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \).

Шаг 1: Определение векторов

В правильном треугольнике все углы равны и составляют по 60 градусов. Мы можем определить координаты вершин треугольника ABC, если поместим его в координатной системе.

Пусть:

• \( A(0, 0) \) — одна из вершин треугольника,
• \( B(a, 0) \) — вторая вершина (находится по оси X),
• \( C \left( \frac{a}{2}, \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \right) \) — третья вершина (по формуле для координат вершины треугольника).

Шаг 2: Нахождение координат B и C

Теперь подставим значение стороны \( a \):

1. \( A(0, 0) \)
2. \( B(303 - \sqrt{3}, 0) \)
3. \( C \left( \frac{303 - \sqrt{3}}{2}, \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} \right) \)

Шаг 3: Определение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \)

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) можно найти как \( B - A \): \[ \overrightarrow{AB} = (303 - \sqrt{3}, 0) - (0, 0) = (303 - \sqrt{3}, 0) \]

Вектор \( \overrightarrow{AC} \) можно найти как \( C - A \): \[ \overrightarrow{AC} = \left( \frac{303 - \sqrt{3}}{2}, \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} \right) - (0, 0) = \left( \frac{303 - \sqrt{3}}{2}, \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} \right) \]

Шаг 4: Сложение векторов

Теперь найдем сумму векторов: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (303 - \sqrt{3}, 0) + \left( \frac{303 - \sqrt{3}}{2}, \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} \right) \]

Сложим компоненты: \[ x\text{-компонента} = (303 - \sqrt{3}) + \frac{303 - \sqrt{3}}{2} = \frac{2(303 - \sqrt{3}) + (303 - \sqrt{3})}{2} = \frac{3(303 - \sqrt{3})}{2} \]

\[ y\text{-компонента} = 0 + \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Таким образом, сумма векторов: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \left( \frac{3(303 - \sqrt{3})}{2}, \frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} \right) \]

Шаг 5: Нахождение длины вектора

Теперь нам нужно найти длину вектора: \[ L = \sqrt{\left(\frac{3(303 - \sqrt{3})}{2}\right)^2 + \left(\frac{(303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2}\right)^2} \]

Упростим: \[ L = \frac{1}{2} \sqrt{\left(3(303 - \sqrt{3})\right)^2 + \left((303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}\right)^2} \]

Шаг 6: Выполнение расчетов

1. Выражение \( (3(303 - \sqrt{3}))^2 = 9(303 - \sqrt{3})^2 \).
2. Выражение \( ((303 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3})^2 = 3(303 - \sqrt{3})^2 \).

Сложим их: \[ L = \frac{1}{2} \sqrt{12(303 - \sqrt{3})^2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3}(303 - \sqrt{3}) = \sqrt{3}(303 - \sqrt{3}) \]

Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \) равна \( \sqrt{3}(303 - \sqrt{3}) \).

Ответ

Длина вектора \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \) равна \( \sqrt{3}(303 - \sqrt{3}) \).