Реши контрольную

Давайте рассмотрим задачи по очереди: 1. **Найти первый член арифметической прогрессии \( a_1 \), первый член которой равен 5, а разность прогрессии равна 3.** Похоже, здесь ошибка в формулировке, так как первый член указан (5). Вероятно, требуется найти первые несколько членов. Мы знаем, что: \[ a_1 = 5, \quad d = 3. \] А первые члены последовательности будут: - \( a_1 = 5 \) - \( a_2 = a_1 + d = 5 + 3 = 8 \) - \( a_3 = a_2 + d = 8 + 3 = 11 \) - и так далее. Можно написать первые несколько членов: \( 5, 8, 11, \ldots \). 2. **Найти сумму первых трёх членов арифметической прогрессии: \( 3, 9, 15 \).** Эта прогрессия имеет: \[ a_1 = 3, \quad d = 6. \] Нам нужно найти сумму: \[ S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 3 + 9 + 15 = 27. \] Или можно использовать формулу суммы первых \( n \) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (2a_1 + (n-1) \times d). \] Для трёх членов это: \[ S_3 = \frac{3}{2} \times (2 \times 3 + 2 \times 6) = \frac{3}{2} \times (6 + 12) = \frac{3}{2} \times 18 = 27. \] 3. **Найти первый член арифметической прогрессии \( a_1 \), если \( l = 82 \), \( n = 4 \), \( d = 3 \).** Здесь используется формула общего члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n-1) \times d. \] Подставим известные значения: \[ 82 = a_1 + (4-1) \times 3 \Rightarrow 82 = a_1 + 9. \] Отсюда: \[ a_1 = 82 - 9 = 73. \] 4. **Найти разность арифметической прогрессии \( d \), если \( a_5 = 17 \), \( a_2 = -2 \).** Найдем разность \( d \) из формулы: \[ a_5 = a_1 + 4d, \quad a_2 = a_1 + d. \] Тогда для \( a_5 = 17 \) и \( a_2 = -2 \): Из второго уравнения: \[ a_1 = -2 - d. \] Подставляем во второе: \[ 17 = (-2 - d) + 4d \Rightarrow 17 = -2 + 3d. \] Отсюда: \[ 3d = 19 \Rightarrow d = \frac{19}{3}. \] 5. **Найти n-ый член арифметической прогрессии, в которой \( a_1 = 3 \), \( a_{10} = 54 \).** Ищем \( n \)-ый член, зная формулу: \[ a_{10} = a_1 + 9d. \] Подставим: \[ 54 = 3 + 9d \Rightarrow 9d = 51 \Rightarrow d = \frac{51}{9} = \frac{17}{3}. \] Теперь для любого \( n \)-ого члена: \[ a_n = a_1 + (n-1) \times d = 3 + (n-1) \times \frac{17}{3}. \] Надеюсь, это поможет вам понять и решить задачи!