1. Найдите шестой член геометрической прогрессии (b_{n}) если b_{1} = 0, 81 и q=^ - 1/3
Чтобы найти шестой член геометрической прогрессии, мы можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии. Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
где:
- \( b_n \) — n-й член прогрессии,
- \( b_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии (коэффициент пропорциональности),
- \( n \) — номер члена прогрессии.
Даны значения:
- \( b_1 = 0,81 \)
- \( q = -\frac{1}{3} \)
- Нам нужно найти \( b_6 \).
- Подставим значения в формулу для шестого члена прогрессии:
\[ b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 \]
- Теперь подставим известные нам значения:
\[ b_6 = 0,81 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^5 \]
- Известно, что \(\left(-\frac{1}{3}\right)^5\) будет вычисляться как:
- \((-1)^5 = -1\)
- \((\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}\)
Таким образом,
\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^5 = -\frac{1}{243} \]
- Подставим это значение в нашу формулу для \( b_6 \):
\[ b_6 = 0,81 \cdot \left(-\frac{1}{243}\right) \]
- Перепишем \( 0,81 \) как дробь:
\[ 0,81 = \frac{81}{100} \]
Теперь у нас есть:
\[ b_6 = \frac{81}{100} \cdot \left(-\frac{1}{243}\right) \]
- Умножим дроби:
\[ b_6 = -\frac{81}{100 \cdot 243} \]
- Теперь найдем произведение \( 100 \cdot 243 \):
\[ 100 \cdot 243 = 24300 \]
- Таким образом, получаем:
\[ b_6 = -\frac{81}{24300} \]
- Упростим дробь. Заметим, что \( 81 \) и \( 243 \) могут быть сокращены. \( 243 = 3^5 \), а \( 81 = 3^4 \). Соответственно:
\[ \frac{81}{243} = \frac{1}{3} \quad \text{(оставшийся множитель: } \frac{1}{100} \text{)} \]
- Сокращаем:
\[ b_6 = -\frac{1}{3 \cdot 100} = -\frac{1}{300} \]
Итак, шестой член геометрической прогрессии \( b_6 \) равен \( -\frac{1}{300} \).
