Давайте рассмотрим задачу о подсчете математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения числа очков, которые может набрать Паша в двух партиях. Мы имеем дело с биномиальным распределением, поскольку в каждой партии Паша может либо выиграть, либо проиграть.
1. Определение параметров задачи
Пусть:
- ( n = 2 ) (число партий, которые играет Паша),
- ( p = 0.7 ) (вероятность выигрыша в одной партии),
- ( q = 1 - p = 0.3 ) (вероятность проигрыша в одной партии).
2. Построение ряда распределения
Паша может выиграть 0, 1 или 2 партии. Мы вычислим для каждого случая вероятность:
- ( P(X = 0) ): вероятность того, что Паша не выиграет ни одной партии.
[
P(X = 0) = C(2, 0) \cdot p^0 \cdot q^2 = 1 \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^2 = 1 \cdot 1 \cdot 0.09 = 0.09
]
- ( P(X = 1) ): вероятность того, что Паша выиграет 1 партию.
[
P(X = 1) = C(2, 1) \cdot p^1 \cdot q^1 = 2 \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^1 = 2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.42
]
- ( P(X = 2) ): вероятность того, что Паша выиграет 2 партии.
[
P(X = 2) = C(2, 2) \cdot p^2 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^0 = 1 \cdot 0.49 \cdot 1 = 0.49
]
3. Результирующий ряд распределения
Теперь мы можем записать вероятности:
[
\begin{align*}
X = 0 & : P(X = 0) = 0.09 \
X = 1 & : P(X = 1) = 0.42 \
X = 2 & : P(X = 2) = 0.49 \
\end{align*}
]
4. Математическое ожидание
Математическое ожидание ( E(X) ) для биномиального распределения можно вычислить как:
[
E(X) = n \cdot p = 2 \cdot 0.7 = 1.4
]
5. Дисперсия
Дисперсия ( D(X) ) тоже имеет формулу для биномиального распределения:
[
D(X) = n \cdot p \cdot q = 2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.42
]
6. Среднее квадратичное отклонение
Среднее квадратичное отклонение ( \sigma(X) ) равно квадратному корню из дисперсии:
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.42} \approx 0.648
]
7. Ответ
Теперь резюмируем результаты:
Ряд распределения:
- ( P(X = 0) = 0.09 )
- ( P(X = 1) = 0.42 )
- ( P(X = 2) = 0.49 )
Математическое ожидание: ( E(X) = 1.4 )
Дисперсия: ( D(X) = 0.42 )
Среднее квадратичное отклонение: ( \sigma(X) \approx 0.648 )
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснение какого-то конкретного шага, дайте знать!
