Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает – 0 баллов. Паша выигрывает с вероятностью 0,7. Постройте ряд распределения и вычислите математическое…

Давайте рассмотрим задачу о подсчете математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения числа очков, которые может набрать Паша в двух партиях. Мы имеем дело с биномиальным распределением, поскольку в каждой партии Паша может либо выиграть, либо проиграть.

1. Определение параметров задачи

Пусть:

• \( n = 2 \) (число партий, которые играет Паша),
• \( p = 0.7 \) (вероятность выигрыша в одной партии),
• \( q = 1 - p = 0.3 \) (вероятность проигрыша в одной партии).

2. Построение ряда распределения

Паша может выиграть 0, 1 или 2 партии. Мы вычислим для каждого случая вероятность:

• \( P(X = 0) \): вероятность того, что Паша не выиграет ни одной партии.

\[ P(X = 0) = C(2, 0) \cdot p^0 \cdot q^2 = 1 \cdot (0.7)^0 \cdot (0.3)^2 = 1 \cdot 1 \cdot 0.09 = 0.09 \]

• \( P(X = 1) \): вероятность того, что Паша выиграет 1 партию.

\[ P(X = 1) = C(2, 1) \cdot p^1 \cdot q^1 = 2 \cdot (0.7)^1 \cdot (0.3)^1 = 2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.42 \]

• \( P(X = 2) \): вероятность того, что Паша выиграет 2 партии.

\[ P(X = 2) = C(2, 2) \cdot p^2 \cdot q^0 = 1 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^0 = 1 \cdot 0.49 \cdot 1 = 0.49 \]

3. Результирующий ряд распределения

Теперь мы можем записать вероятности:

\[ \begin{align*} X = 0 & : P(X = 0) = 0.09 \\ X = 1 & : P(X = 1) = 0.42 \\ X = 2 & : P(X = 2) = 0.49 \\ \end{align*} \]

4. Математическое ожидание

Математическое ожидание \( E(X) \) для биномиального распределения можно вычислить как:

\[ E(X) = n \cdot p = 2 \cdot 0.7 = 1.4 \]

5. Дисперсия

Дисперсия \( D(X) \) тоже имеет формулу для биномиального распределения:

\[ D(X) = n \cdot p \cdot q = 2 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 0.42 \]

6. Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение \( \sigma(X) \) равно квадратному корню из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.42} \approx 0.648 \]

7. Ответ

Теперь резюмируем результаты:

• Ряд распределения:

  • \( P(X = 0) = 0.09 \)
  • \( P(X = 1) = 0.42 \)
  • \( P(X = 2) = 0.49 \)

• Математическое ожидание: \( E(X) = 1.4 \)

• Дисперсия: \( D(X) = 0.42 \)

• Среднее квадратичное отклонение: \( \sigma(X) \approx 0.648 \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснение какого-то конкретного шага, дайте знать!