Решим систему уравнений
[
\begin{cases}
x - y = 10 \quad (1) \
2x + 3y = 15 \quad (2)
\end{cases}
]
используя способ сложения (метод сложения).
Шаг 1: Изолируем одну переменную
Начнем с первого уравнения (1), чтобы выразить ( x ) через ( y ):
[
x = y + 10 \quad (3)
]
Шаг 2: Подставим найденное значение в другое уравнение
Теперь подставим выражение для ( x ) из (3) во второе уравнение (2):
[
2(y + 10) + 3y = 15
]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение
Раскроем скобки:
[
2y + 20 + 3y = 15
]
Теперь объединим подобные члены:
[
5y + 20 = 15
]
Шаг 4: Решим уравнение относительно ( y )
Теперь избавимся от 20, вычитая его из обеих сторон:
[
5y = 15 - 20
]
[
5y = -5
]
Теперь поделим обе стороны на 5:
[
y = -1
]
Шаг 5: Подставим значение ( y ) обратно, чтобы найти ( x )
Теперь мы знаем, что ( y = -1 ). Подставим это значение в уравнение (3):
[
x = -1 + 10
]
[
x = 9
]
Шаг 6: Записываем ответ
Таким образом, мы нашли решения системы уравнений:
[
x = 9, \quad y = -1
]
Проверка
Теперь проверим наши значения, подставив их обратно в оба первоначальных уравнения.
Для первого уравнения:
[
9 - (-1) = 10 \Rightarrow 9 + 1 = 10 \quad \text{(верно)}
]
Для второго уравнения:
[
2(9) + 3(-1) = 15 \Rightarrow 18 - 3 = 15 \quad \text{(верно)}
]
Оба уравнения верны, значит, решение правильное.
Ответ: ( x = 9, \quad y = -1 ).
