касательная KE ( E-точка касания) к окружности с центром F, равна 12см угол EKF =45°. Вычислите длину диаметра окружности и расстояние от её центра до касательной рисунок к задаче

Для решения задачи будем использовать свойства касательных к окружности.

1. Понимание задачи:

   • Дано, что касательная \( KE \) к окружности равна \( 12 \) см, угол \( EKF = 45^\circ \).
   • Необходимо найти длину диаметра окружности и расстояние от её центра \( F \) до касательной \( KE \).

2. Обозначение элементов:

   • \( K \) — точка на окружности.
   • \( E \) — точка касания.
   • \( F \) — центр окружности.
   • \( r \) — радиус окружности.

3. Свойства касательной:

   • Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точке касания. Это значит, что угол \( EFK = 90^\circ \).
   • Мы знаем: \( \angle EKF = 45^\circ \).

4. Совмещение углов:

   • В треугольнике \( EFK \) по свойству углов (сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \)): \[ \angle EFK + \angle EKF + \angle KEF = 180^\circ \] Поскольку \( \angle EFK = 90^\circ \) и \( \angle EKF = 45^\circ \): \[ 90^\circ + 45^\circ + \angle KEF = 180^\circ \] Отсюда, \[ \angle KEF = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]

5. Использование тригонометрии:

   • Теперь у нас есть треугольник \( EFK \) с углом \( 45^\circ \) и известной длиной \( KE \) (касательной), равной \( 12 \) см. С учетом этого, у нас: \[ \frac{r}{KE} = \tan(45^\circ) = 1 \] Это говорит о том, что радиус \( r \) равен длине касательной. \[ r = 12 \text{ см} \]

6. Рассчитываем диаметр окружности:

   • Длина диаметра \( D \) равна \( D = 2r \): \[ D = 2 \cdot 12 = 24 \text{ см} \]

7. Расстояние от центра до касательной:

   • Расстояние от центра \( F \) до касательной \( KE \) равно радиусу окружности, то есть \( r = 12 \) см. Это результат, так как касательная и радиус пересекаются под прямым углом.

Итоговые результаты:

• Длина диаметра окружности \( D = 24 \) см.
• Расстояние от центра \( F \) до касательной \( KE = 12 \) см.