Давайте решим задачу по шагам.
Условие задачи:
Задумали трёхзначное число, первая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но вторую и третью цифру поменяли местами. В результате получили число 72. Нужно найти все такие числа.
Обозначения:
Пусть наше трёхзначное число имеет вид ( abc ), где ( a ), ( b ), ( c ) — это его цифры, и ( a \neq 0 ) (так как это трёхзначное число). В таком случае, можно выразить число и его «обратную» форму (где поменяны местами вторая и третья цифры) следующим образом:
- Первое число: ( 100a + 10b + c )
- Второе число (с переставленными цифрами): ( 100a + 10c + b )
Выражение для вычитания:
Теперь вычтем второе число из первого:
[
(100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 72
]
Упростим это выражение:
[
100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 72
]
Это сокращается до:
[
9b - 9c = 72
]
Упростим уравнение:
Теперь сократим обе стороны на 9:
[
b - c = 8
]
Выражаем цифры:
Это уравнение говорит нам, что вторая цифра ( b ) больше третьей цифры ( c ) на 8. Поскольку ( b ) и ( c ) — это цифры (от 0 до 9):
- Если ( c = 0 ), тогда ( b = 8 ).
- Если ( c = 1 ), тогда ( b ) не может быть 9, так как ( b ) не может превышать 9.
- Значения ( c ) от 2 до 9 не дадут допустимых значений для ( b ) (они выйдут за пределы).
Найдём допустимые значения:
Таким образом, у нас есть одно возможное сочетание:
Теперь, поскольку ( a ) может быть любой цифрой от 1 до 9 (первый разряд не может быть 0):
- ( a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 )
Формируем все числа:
Следовательно, все числа, которые подходят под условия задачи, будут:
- 180
- 280
- 380
- 480
- 580
- 680
- 780
- 880
- 980
Ответ:
Теперь все числа, которые удовлетворяют условиям задачи, это: 180, 280, 380, 480, 580, 680, 780, 880, 980.
