Миша решил заниматься спортом и начал отжиматься каждое утро. В первое утро он сделал 10 10 отжиманий, а каждое следующее утро он делал на одно и то же количество отжиманий…

Для решения задачи давайте обозначим:

• \( x \) — количество отжиманий, на которое Миша увеличивает количество отжиманий каждое утро,
• \( a_1 = 10 \) — количество отжиманий в первое утро.

Количество отжиманий, которое Миша делает в каждый из дней, можно выразить как:

• В 1-й день: \( a_1 = 10 \)
• В 2-й день: \( a_2 = 10 + x \)
• В 3-й день: \( a_3 = 10 + 2x \)
• В 4-й день: \( a_4 = 10 + 3x \)
• В 5-й день: \( a_5 = 10 + 4x \)
• В 6-й день: \( a_6 = 10 + 5x \)
• В 7-й день: \( a_7 = 10 + 6x \)
• ...
• В 12-й день: \( a_{12} = 10 + 11x \)

Теперь мы можем записать общее количество отжиманий за 12 дней:

\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} + a_{11} + a_{12} \]

Подставим выражения для количества отжиманий:

\[ S = 10 + (10 + x) + (10 + 2x) + (10 + 3x) + (10 + 4x) + (10 + 5x) + (10 + 6x) + (10 + 7x) + (10 + 8x) + (10 + 9x) + (10 + 10x) + (10 + 11x) \]

Это выражение можно упростить. Сначала соберем все константы и все переменные:

\[ S = 12 \cdot 10 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11)x \]

Считаем сумму первых 11 чисел (это сумма арифметической прогрессии):

\[ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66 \]

Теперь подставляем это в уравнение:

\[ S = 120 + 66x \]

Согласно условию задачи, Миша за 12 дней сделал 384 отжимания, следовательно:

\[ 120 + 66x = 384 \]

Теперь решим это уравнение для нахождения \( x \):

\[ 66x = 384 - 120 \] \[ 66x = 264 \] \[ x = \frac{264}{66} = 4 \]

Теперь у нас есть \( x = 4 \). Теперь можем посчитать количество отжиманий, которое Миша сделал в седьмой день:

\[ a_7 = 10 + 6x = 10 + 6 \cdot 4 = 10 + 24 = 34 \]

Таким образом, в седьмой день Миша сделал 34 отжимания.