Закрепление 1. Угол между образующей и осью конуса равен 45º, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Дано: конус, OPA=45º PA== 6,5см- образующая…
Закрепление 1. Угол между образующей и осью конуса равен 45º, образующая равна 6,5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Дано: конус, OPA=45º PA== 6,5см- образующая конуса Найти: Sбок Решение: , так как OPA = 45º, то и OAP = 45º, OP- высота конуса. Значит, ОА = ОP = r, по теореме Пифагора: r2 + r2 = 6,52 2r2 = 42,25 r2 = 21,125 r 4,6 2. Sбок.кон. = , Sбок.кон. = =29,9 Ответ: 29,9 IV.Домашнее задание. Знать теорию. Решить задачи: №1, № 547 №1. Образующая конуса, равная 12см, наклонена к плоскости основания под углом 30º. Найти площадь основания конуса, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности конуса.
Для решения задачи, давайте сначала разберем основные элементы, связанные с конусом и формулами, которые нам понадобятся.
Дано:
- Образующая \( OA = 12 \, \text{см} \)
- Угол наклона образующей к плоскости основания \( \alpha = 30^\circ \)
Цель:
- Найти площадь основания конуса.
- Найти площадь боковой поверхности конуса.
- Найти полную поверхность конуса.
Шаги решения:
1. Найти радиус основания \( r \).
Сначала выделим радиус \( r \) основания конуса. Мы знаем, что образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:
- \( OA \) — это образующая,
- \( OP \) — это высота конуса,
- \( OA \) делает угол \( \alpha \) с высотой.
Мы можем использовать тригонометрию для нахождения радиуса.
По определению cosinus: \[ \cos(\alpha) = \frac{r}{OA} \Rightarrow r = OA \cdot \cos(\alpha) \]
Подставим значение: \[ r = 12 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \, \text{см} \]
2. Найти высоту \( h \).
Теперь найдем высоту конуса \( h \). Используем синус угла: \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{OA} \Rightarrow h = OA \cdot \sin(\alpha) \]
Подставим значение в формулу: \[ h = 12 \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \, \text{см} \]
3. Найти площадь основания \( S_{осн} \).
Площадь основания конуса – это площадь круга: \[ S_{осн} = \pi r^2 \] Подставим радиус: \[ S_{осн} = \pi (10.39)^2 \approx 107.65 \, \text{см}^2 \]
4. Найти площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).
Площадь боковой поверхности конуса рассчитывается по формуле: \[ S_{бок} = \pi r OA \] Подставим значения: \[ S_{бок} = \pi (10.39) \cdot (12) \approx 392.39 \, \text{см}^2 \]
5. Найти полную площадь \( S_{пол} \).
Полная площадь конуса – это сумма площади боковой и площади основания: \[ S_{пол} = S_{бок} + S_{осн} \] Подставим найденные значения: \[ S_{пол} = 392.39 + 107.65 \approx 500.04 \, \text{см}^2 \]
Ответ:
- Площадь основания конуса: \( S_{осн} \approx 107.65 \, \text{см}^2 \)
- Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} \approx 392.39 \, \text{см}^2 \)
- Полная площадь конуса: \( S_{пол} \approx 500.04 \, \text{см}^2 \)
Теперь вы знаете, как находить и применять формулы для решения задач о конусах!
