Найдите область определения и область значения функции y = -x² - 6x + 7

Чтобы найти область определения и область значения функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \), следуем пошагово. ### Шаг 1: Определение области определения **Область определения** — это все значения \( x \), при которых функция определена. Для многочленов, таких как данный квадратичный, область определения обычно включает все действительные числа. Таким образом, для функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \) область определения: \[ D(y) = \mathbb{R} \quad \text{(все действительные числа)} \] ### Шаг 2: Определение области значения **Область значения** функции — это все возможные значения \( y \), которые она может принимать. Поскольку мы имеем квадратичную функцию, начнём с нахождения её вершины, которая определяет максимальное или минимальное значение функции. Форма квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) имеет максимум (если \( a < 0 \)) или минимум (если \( a > 0 \)). В нашем случае: - \( a = -1 \) (что меньше 0, значит у нас есть максимальная точка). Для нахождения вершины (максимального значения) используем формулу: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 \] Теперь подставим \( x = -3 \) в уравнение функции, чтобы найти значение \( y \): \[ y = -(-3)^2 - 6(-3) + 7 \] Считаем по шагам: 1. \( -(-3)^2 = -9 \) 2. \( -6 \cdot -3 = 18 \) 3. \( y = -9 + 18 + 7 = 16 \) Итак, максимальное значение функции равно 16 и при \( x = -3 \). ### Шаг 3: Нахождение области значения Поскольку функция имеет форму параболы, открывающейся вниз, ее область значения будет от этого максимального значения до минус бесконечности. Таким образом: \[ W(y) = (-\infty, 16] \] ### Итог: - **Область определения:** \( D(y) = \mathbb{R} \) (все действительные числа). - **Область значения:** \( W(y) = (-\infty, 16] \) (значения функции от минус бесконечности до 16 включительно).