Найдите область определения и область значения функции y = -x² - 6x + 7
Чтобы найти область определения и область значения функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \), следуем пошагово.
Шаг 1: Определение области определения
Область определения — это все значения \( x \), при которых функция определена. Для многочленов, таких как данный квадратичный, область определения обычно включает все действительные числа.
Таким образом, для функции \( y = -x^2 - 6x + 7 \) область определения:
\[ D(y) = \mathbb{R} \quad \text{(все действительные числа)} \]
Шаг 2: Определение области значения
Область значения функции — это все возможные значения \( y \), которые она может принимать. Поскольку мы имеем квадратичную функцию, начнём с нахождения её вершины, которая определяет максимальное или минимальное значение функции.
Форма квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) имеет максимум (если \( a < 0 \)) или минимум (если \( a > 0 \)). В нашем случае:
- \( a = -1 \) (что меньше 0, значит у нас есть максимальная точка).
Для нахождения вершины (максимального значения) используем формулу:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
Подставим значения \( a \) и \( b \):
\[ x = -\frac{-6}{2 \cdot -1} = \frac{6}{-2} = -3 \]
Теперь подставим \( x = -3 \) в уравнение функции, чтобы найти значение \( y \):
\[ y = -(-3)^2 - 6(-3) + 7 \]
Считаем по шагам:
- \( -(-3)^2 = -9 \)
- \( -6 \cdot -3 = 18 \)
- \( y = -9 + 18 + 7 = 16 \)
Итак, максимальное значение функции равно 16 и при \( x = -3 \).
Шаг 3: Нахождение области значения
Поскольку функция имеет форму параболы, открывающейся вниз, ее область значения будет от этого максимального значения до минус бесконечности.
Таким образом:
\[ W(y) = (-\infty, 16] \]
Итог:
- Область определения: \( D(y) = \mathbb{R} \) (все действительные числа).
- Область значения: \( W(y) = (-\infty, 16] \) (значения функции от минус бесконечности до 16 включительно).
