Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это статистическая мера, которая показывает, насколько значения в наборе данных отклоняются от среднего значения (математического ожидания). Оно помогает понять, насколько разбросаны данные.

Шаги для вычисления стандартного отклонения:

1. Найдите среднее значение (μ): Среднее значение — это сумма всех значений, деленная на количество значений. \[ \mu = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} \] где \( x_1, x_2, ..., x_n \) — значения, а \( n \) — количество значений.

2. Вычислите отклонения от среднего: Для каждого значения в наборе данных найдите отклонение от среднего: \[ d_i = x_i - \mu \] где \( d_i \) — отклонение каждого значения \( x_i \).

3. Возведите каждое отклонение в квадрат: \[ d_i^2 = (x_i - \mu)^2 \]

4. Найдите среднее значение квадратов отклонений: Для вычисления стандартного отклонения по всей выборке используйте формулу для вариации: \[ \sigma^2 = \frac{d_1^2 + d_2^2 + ... + d_n^2}{n} \] где \( \sigma^2 \) — это дисперсия.

5. Найдите стандартное отклонение: Возьмите квадратный корень из дисперсии: \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Пример:

Рассмотрим набор данных: 4, 8, 6, 5, 3.

1. Найти среднее (μ): \[ \mu = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]

2. Вычислить отклонения от среднего:

   • Для 4: \( 4 - 5.2 = -1.2 \)
   • Для 8: \( 8 - 5.2 = 2.8 \)
   • Для 6: \( 6 - 5.2 = 0.8 \)
   • Для 5: \( 5 - 5.2 = -0.2 \)
   • Для 3: \( 3 - 5.2 = -2.2 \)

3. Возвести отклонения в квадрат:

   • Для 4: \( (-1.2)^2 = 1.44 \)
   • Для 8: \( (2.8)^2 = 7.84 \)
   • Для 6: \( (0.8)^2 = 0.64 \)
   • Для 5: \( (-0.2)^2 = 0.04 \)
   • Для 3: \( (-2.2)^2 = 4.84 \)

4. Найти среднее значение квадратов отклонений: \[ \sigma^2 = \frac{1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84}{5} = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]

5. Найти стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72 \]

Таким образом, стандартное отклонение данного набора данных составляет примерно 1.72. Это значение показывает, что данные в среднем отклоняются от среднего на 1.72.