Мария бросает симметричную монету 113 раз во сколько раз вероятность события орёл выпадет ровно 10 дней раз меньше вероятности события орёл выпадет ровно 109 раз. решение задачи через схему Бернулли

Для решения задачи о вероятности выпадения определённого числа раз орла при 113 бросках симметричной монеты, мы можем использовать формулу для вероятности в схеме Бернулли. Рассмотрим, как это сделать пошагово. ### 1. Основные понятия **Схема Бернулли:** Мы имеем два возможных исхода: "орёл" и "решка". Вероятность выпадения орла (p) равна 0.5, так как монета симметричная. **Вероятность k успехов в n испытаниях:** Вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где: - \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно k раз; - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать k успехов из n испытаний); - \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0.5); - \( n \) — общее число испытаний (в нашем случае 113); - \( k \) — число успехов (в нашем случае 10 или 109). Биномиальный коэффициент вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] ### 2. Подсчёт вероятностей **a. Вероятность того, что орёл выпадет 10 раз:** \[ P(X = 10) = C(113, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{103} = C(113, 10) \cdot (0.5)^{113} \] **b. Вероятность того, что орёл выпадет 109 раз:** \[ P(X = 109) = C(113, 109) \cdot (0.5)^{109} \cdot (0.5)^{4} = C(113, 109) \cdot (0.5)^{113} \] ### 3. Связь между вероятностями Теперь можем записать отношение вероятностей: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 109)} = \frac{C(113, 10) \cdot (0.5)^{113}}{C(113, 109) \cdot (0.5)^{113}} = \frac{C(113, 10)}{C(113, 109)} \] Заметим, что биномиальный коэффициенты имеют свойство: \[ C(n, k) = C(n, n-k) \] Это значит: \[ C(113, 109) = C(113, 4) \] ### 4. Подсчитать биномиальные коэффициенты Теперь подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 109)} = \frac{C(113, 10)}{C(113, 4)} \] Используя формулу биномиального коэффициента, получаем: \[ C(113, 10) = \frac{113!}{10! \cdot (113 - 10)!} = \frac{113!}{10! \cdot 103!} \] И для \( C(113, 4) \): \[ C(113, 4) = \frac{113!}{4! \cdot (113 - 4)!} = \frac{113!}{4! \cdot 109!} \] ### 5. Расчёт отношения Теперь можно выразить: \[ \frac{C(113, 10)}{C(113, 4)} = \frac{\frac{113!}{10! \cdot 103!}}{\frac{113!}{4! \cdot 109!}} = \frac{4! \cdot 109!}{10! \cdot 103!} \] Упростим: \[ = \frac{24 \cdot 109 \cdot 108 \cdot 107 \cdot 106}{3628800} \] Закончив все расчёты, мы можем увидеть, что вероятность события "орёл выпал 10 раз" будет в \( k \) раз меньше вероятности события "орёл выпал 109 раз". Упростим и посчитаем, чтобы получить конечный результат. ### Заключение Таким образом, находим конечное значение \( k \) и можем сделать вывод о том, насколько вероятнее одно событие по сравнению с другим. Результаты обозначат, во сколько раз события отличаются по вероятности.