Мария бросает симметричную монету 113 раз во сколько раз вероятность события орёл выпадет ровно 10 дней раз меньше вероятности события орёл выпадет ровно 109 раз. решение задачи…

Для решения задачи о вероятности выпадения определённого числа раз орла при 113 бросках симметричной монеты, мы можем использовать формулу для вероятности в схеме Бернулли. Рассмотрим, как это сделать пошагово.

1. Основные понятия

Схема Бернулли: Мы имеем два возможных исхода: "орёл" и "решка". Вероятность выпадения орла (p) равна 0.5, так как монета симметричная.

Вероятность k успехов в n испытаниях: Вычисляется по формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно k раз;
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать k успехов из n испытаний);
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае 0.5);
• \( n \) — общее число испытаний (в нашем случае 113);
• \( k \) — число успехов (в нашем случае 10 или 109).

Биномиальный коэффициент вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

2. Подсчёт вероятностей

a. Вероятность того, что орёл выпадет 10 раз: \[ P(X = 10) = C(113, 10) \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{103} = C(113, 10) \cdot (0.5)^{113} \]

b. Вероятность того, что орёл выпадет 109 раз: \[ P(X = 109) = C(113, 109) \cdot (0.5)^{109} \cdot (0.5)^{4} = C(113, 109) \cdot (0.5)^{113} \]

3. Связь между вероятностями

Теперь можем записать отношение вероятностей: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 109)} = \frac{C(113, 10) \cdot (0.5)^{113}}{C(113, 109) \cdot (0.5)^{113}} = \frac{C(113, 10)}{C(113, 109)} \]

Заметим, что биномиальный коэффициенты имеют свойство: \[ C(n, k) = C(n, n-k) \] Это значит: \[ C(113, 109) = C(113, 4) \]

4. Подсчитать биномиальные коэффициенты

Теперь подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 109)} = \frac{C(113, 10)}{C(113, 4)} \]

Используя формулу биномиального коэффициента, получаем: \[ C(113, 10) = \frac{113!}{10! \cdot (113 - 10)!} = \frac{113!}{10! \cdot 103!} \] И для \( C(113, 4) \): \[ C(113, 4) = \frac{113!}{4! \cdot (113 - 4)!} = \frac{113!}{4! \cdot 109!} \]

5. Расчёт отношения

Теперь можно выразить: \[ \frac{C(113, 10)}{C(113, 4)} = \frac{\frac{113!}{10! \cdot 103!}}{\frac{113!}{4! \cdot 109!}} = \frac{4! \cdot 109!}{10! \cdot 103!} \]

Упростим: \[ = \frac{24 \cdot 109 \cdot 108 \cdot 107 \cdot 106}{3628800} \]

Закончив все расчёты, мы можем увидеть, что вероятность события "орёл выпал 10 раз" будет в \( k \) раз меньше вероятности события "орёл выпал 109 раз". Упростим и посчитаем, чтобы получить конечный результат.

Заключение

Таким образом, находим конечное значение \( k \) и можем сделать вывод о том, насколько вероятнее одно событие по сравнению с другим. Результаты обозначат, во сколько раз события отличаются по вероятности.