Для решения задачи будем обозначать скорость первого друга как ( v_1 ) (км/ч) и скорость второго друга как ( v_2 ) (км/ч).
Дано:
- Расстояние между городами — 64 км.
- Через 3 часа второй друг (на велосипеде) был на 24 км дальше первого друга (на самокате).
- Второй друг был в пути на 4 часа меньше первого.
Шаг 1: Записать известные условия
Время, которое провел в пути второй друг (на велосипеде), обозначим как ( t_2 ). Тогда время, которое провел в пути первый друг (на самокате), будет ( t_1 = t_2 + 4 ).
Из условия задачи мы знаем, что через 3 часа:
- Расстояние, которое проехал первый друг:
[
S_1 = v_1 \cdot 3
]
- Расстояние, которое проехал второй друг:
[
S_2 = v_2 \cdot 3
]
- По условию, второй друг был на 24 км дальше первого:
[
S_2 = S_1 + 24
]
Шаг 2: Записываем уравнения
Подставляем выражения для расстояний в уравнение:
[
v_2 \cdot 3 = v_1 \cdot 3 + 24.
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Разделим все части уравнения на 3:
[
v_2 = v_1 + 8. \quad \text{(1)}
]
Шаг 4: Условия по времени
Поскольку второй друг был в пути на 4 часа меньше первого, можем записать связи между временем и расстоянием:
[
t_2 = \frac{64}{v_2} \quad \text{и} \quad t_1 = \frac{64}{v_1}.
]
Из условия, что ( t_1 = t_2 + 4 ):
[
\frac{64}{v_1} = \frac{64}{v_2} + 4.
]
Шаг 5: Подставим ( v_2 ) из (1)
Подставим значение ( v_2 ) из уравнения (1):
[
\frac{64}{v_1} = \frac{64}{v_1 + 8} + 4.
]
Шаг 6: Умножим на ( v_1 (v_1 + 8) ) для избавления от дробей
Умножим все части уравнения на ( v_1 (v_1 + 8) ):
[
64(v_1 + 8) = 64v_1 + 4v_1(v_1 + 8).
]
Шаг 7: Раскроем скобки и упростим
Раскрываем скобки:
[
64v_1 + 512 = 64v_1 + 4v_1^2 + 32v_1.
]
Сокращаем ( 64v_1 ) с обеих сторон:
[
512 = 4v_1^2 + 32v_1.
]
Шаг 8: Приведем уравнение к стандартному виду
Перепишем уравнение:
[
4v_1^2 + 32v_1 - 512 = 0.
]
Разделим все на 4:
[
v_1^2 + 8v_1 - 128 = 0.
]
Шаг 9: Используем формулу для нахождения корней
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 64 + 512 = 576.
]
Корни уравнения:
[
v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 24}{2} = \frac{16}{2} \text{ или } \frac{-32}{2}.
]
Шаг 10: Определим значения корней
- ( v_1 = 8 ) (возможно) и ( v_1 = -16 ) (невозможно, так как скорость не может быть отрицательной).
Ответ
Скорость первого друга (на самокате) равна 8 км/ч.
