Из одного города в другой выехали два друга. Первый ехал на самокате, а второй на велосипеде. Расстояние между городами равно 64 км. Через 3 ч второй друг был на 24 км дальше…

Для решения задачи будем обозначать скорость первого друга как \( v_1 \) (км/ч) и скорость второго друга как \( v_2 \) (км/ч).

Дано:

• Расстояние между городами — 64 км.
• Через 3 часа второй друг (на велосипеде) был на 24 км дальше первого друга (на самокате).
• Второй друг был в пути на 4 часа меньше первого.

Шаг 1: Записать известные условия

Время, которое провел в пути второй друг (на велосипеде), обозначим как \( t_2 \). Тогда время, которое провел в пути первый друг (на самокате), будет \( t_1 = t_2 + 4 \).

Из условия задачи мы знаем, что через 3 часа:

• Расстояние, которое проехал первый друг: \[ S_1 = v_1 \cdot 3 \]
• Расстояние, которое проехал второй друг: \[ S_2 = v_2 \cdot 3 \]
• По условию, второй друг был на 24 км дальше первого: \[ S_2 = S_1 + 24 \]

Шаг 2: Записываем уравнения

Подставляем выражения для расстояний в уравнение:

\[ v_2 \cdot 3 = v_1 \cdot 3 + 24. \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим все части уравнения на 3:

\[ v_2 = v_1 + 8. \quad \text{(1)} \]

Шаг 4: Условия по времени

Поскольку второй друг был в пути на 4 часа меньше первого, можем записать связи между временем и расстоянием:

\[ t_2 = \frac{64}{v_2} \quad \text{и} \quad t_1 = \frac{64}{v_1}. \]

Из условия, что \( t_1 = t_2 + 4 \):

\[ \frac{64}{v_1} = \frac{64}{v_2} + 4. \]

Шаг 5: Подставим \( v_2 \) из (1)

Подставим значение \( v_2 \) из уравнения (1):

\[ \frac{64}{v_1} = \frac{64}{v_1 + 8} + 4. \]

Шаг 6: Умножим на \( v_1 (v_1 + 8) \) для избавления от дробей

Умножим все части уравнения на \( v_1 (v_1 + 8) \):

\[ 64(v_1 + 8) = 64v_1 + 4v_1(v_1 + 8). \]

Шаг 7: Раскроем скобки и упростим

Раскрываем скобки:

\[ 64v_1 + 512 = 64v_1 + 4v_1^2 + 32v_1. \]

Сокращаем \( 64v_1 \) с обеих сторон:

\[ 512 = 4v_1^2 + 32v_1. \]

Шаг 8: Приведем уравнение к стандартному виду

Перепишем уравнение:

\[ 4v_1^2 + 32v_1 - 512 = 0. \]

Разделим все на 4:

\[ v_1^2 + 8v_1 - 128 = 0. \]

Шаг 9: Используем формулу для нахождения корней

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 64 + 512 = 576. \]

Корни уравнения:

\[ v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 24}{2} = \frac{16}{2} \text{ или } \frac{-32}{2}. \]

Шаг 10: Определим значения корней

• \( v_1 = 8 \) (возможно) и \( v_1 = -16 \) (невозможно, так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ

Скорость первого друга (на самокате) равна 8 км/ч.