Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с данными и сделаем необходимые вычисления.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Даны следующие параметры:
- Длина гипотенузы AB = 50
- Пропорция сторон BC и AC равна 4:3.
Давайте обозначим сторону AC как ( a ), а сторону BC как ( b ).
Согласно условию задачи, у нас есть следующие соотношения:
[
\frac{b}{a} = \frac{4}{3}
]
Это означает, что можно выразить стороны через одну переменную. Пусть ( a = 3k ) и ( b = 4k ), где ( k ) — некоторый коэффициент пропорциональности.
Теперь нам нужно использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Для нашего треугольника ABC это можно записать как:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
или:
[
50^2 = a^2 + b^2
]
Подставим выражения для ( a ) и ( b ):
[
50^2 = (3k)^2 + (4k)^2
]
[
2500 = 9k^2 + 16k^2
]
[
2500 = 25k^2
]
Теперь решим это уравнение на ( k^2 ):
[
k^2 = \frac{2500}{25} = 100
]
[
k = 10
]
Теперь, подставляя значение ( k ) обратно, находим стороны:
[
AC = a = 3k = 3 \times 10 = 30
]
[
BC = b = 4k = 4 \times 10 = 40
]
Таким образом, мы нашли элементы прямоугольного треугольника ABC:
- ( AC = 30 )
- ( BC = 40 )
- ( AB = 50 )
В итоге, стороны треугольника ABC равны:
- ( AC = 30 )
- ( BC = 40 )
- ( AB = 50 )
Теперь, если сопоставить условие задачи с его заключением, мы видим, что заданные длины гипотенузы и пропорции сторон соответствуют всем вычислениям, и нам удалось найти искомые элементы треугольника.
