Найдите элементы прямоугольного треугольника ABC, с прямым углом C, если AB= 50, ВС: АС = 4:3. Сопоставьте условие задачи с его заключением
Чтобы решить задачу, давайте разберёмся с данными и сделаем необходимые вычисления.
У нас есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Даны следующие параметры:
- Длина гипотенузы AB = 50
- Пропорция сторон BC и AC равна 4:3.
Давайте обозначим сторону AC как \( a \), а сторону BC как \( b \).
Согласно условию задачи, у нас есть следующие соотношения: \[ \frac{b}{a} = \frac{4}{3} \]
Это означает, что можно выразить стороны через одну переменную. Пусть \( a = 3k \) и \( b = 4k \), где \( k \) — некоторый коэффициент пропорциональности.
Теперь нам нужно использовать теорему Пифагора, которая гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Для нашего треугольника ABC это можно записать как: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] или: \[ 50^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим выражения для \( a \) и \( b \): \[ 50^2 = (3k)^2 + (4k)^2 \] \[ 2500 = 9k^2 + 16k^2 \] \[ 2500 = 25k^2 \] Теперь решим это уравнение на \( k^2 \): \[ k^2 = \frac{2500}{25} = 100 \] \[ k = 10 \]
Теперь, подставляя значение \( k \) обратно, находим стороны: \[ AC = a = 3k = 3 \times 10 = 30 \] \[ BC = b = 4k = 4 \times 10 = 40 \]
Таким образом, мы нашли элементы прямоугольного треугольника ABC:
- \( AC = 30 \)
- \( BC = 40 \)
- \( AB = 50 \)
В итоге, стороны треугольника ABC равны:
- \( AC = 30 \)
- \( BC = 40 \)
- \( AB = 50 \)
Теперь, если сопоставить условие задачи с его заключением, мы видим, что заданные длины гипотенузы и пропорции сторон соответствуют всем вычислениям, и нам удалось найти искомые элементы треугольника.
