Для решения задачи про вероятность, давайте разберем условия и найдем искомую вероятность.
Условие задачи:
- В контрольной работе 5 задач.
- В каждой задаче 4 варианта ответа.
- Чтобы избежать пересдачи, нужно правильно ответить хотя бы на 2 задания.
- Вероятность правильно ответить на одну задачу случайным образом (т.е. наугад): ( p = \frac{1}{4} ).
Мы можем использовать распределение Бернулли (или биномиальное распределение) для определения того, сколько заданий Ваня может решить правильно.
Обозначения:
- Обозначим ( X ) — количество правильно решенных заданий.
- ( n = 5 ) — общее количество заданий.
- ( k ) — количество правильно решенных заданий (в варианте 2 или более).
- Вероятность правильного ответа (успеха) на задачу: ( p = \frac{1}{4} ).
- Вероятность неправильного ответа (неудачи): ( q = 1 - p = \frac{3}{4} ).
Нам нужно найти вероятность того, что Ваня правильно решит 2 или более заданий.
Сначала определим вероятность, что Ваня решит ровно ( k ) заданий правильно:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
]
где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент.
Теперь найдем вероятность решения 0 и 1 задания правильно, а затем вычтем их из 1, чтобы найти нужную вероятность.
- Вероятность того, что Ваня решит 0 заданий правильно:
[
P(X = 0) = C(5, 0) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{243}{1024}\right)
]
- Вероятность того, что Ваня решит 1 задание правильно:
[
P(X = 1) = C(5, 1) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4
]
[
= 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{81}{256}\right) = \frac{405}{1024}
]
Теперь сложим вероятности, когда Ваня решит 0 или 1 задание:
[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{243}{1024} + \frac{405}{1024} = \frac{648}{1024}
]
Теперь находим вероятность того, что Ваня решит хотя бы 2 задания правильно:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \frac{648}{1024} = \frac{376}{1024}
]
Упростим дробь:
[
P(X \geq 2) = \frac{94}{256} \text{ или } \frac{47}{128}
]
Ответ: Вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет (\frac{47}{128}).
