годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня…
Годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит p = 1 4 p= 4 1 . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу?
Для решения задачи про вероятность, давайте разберем условия и найдем искомую вероятность.
Условие задачи:
- В контрольной работе 5 задач.
- В каждой задаче 4 варианта ответа.
- Чтобы избежать пересдачи, нужно правильно ответить хотя бы на 2 задания.
- Вероятность правильно ответить на одну задачу случайным образом (т.е. наугад): \( p = \frac{1}{4} \).
Мы можем использовать распределение Бернулли (или биномиальное распределение) для определения того, сколько заданий Ваня может решить правильно.
Обозначения:
- Обозначим \( X \) — количество правильно решенных заданий.
- \( n = 5 \) — общее количество заданий.
- \( k \) — количество правильно решенных заданий (в варианте 2 или более).
- Вероятность правильного ответа (успеха) на задачу: \( p = \frac{1}{4} \).
- Вероятность неправильного ответа (неудачи): \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \).
Нам нужно найти вероятность того, что Ваня правильно решит 2 или более заданий.
Сначала определим вероятность, что Ваня решит ровно \( k \) заданий правильно:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — биномиальный коэффициент.
Теперь найдем вероятность решения 0 и 1 задания правильно, а затем вычтем их из 1, чтобы найти нужную вероятность.
- Вероятность того, что Ваня решит 0 заданий правильно:
\[ P(X = 0) = C(5, 0) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{243}{1024}\right) \]
- Вероятность того, что Ваня решит 1 задание правильно:
\[ P(X = 1) = C(5, 1) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^4 \] \[ = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{81}{256}\right) = \frac{405}{1024} \]
Теперь сложим вероятности, когда Ваня решит 0 или 1 задание:
\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{243}{1024} + \frac{405}{1024} = \frac{648}{1024} \]
Теперь находим вероятность того, что Ваня решит хотя бы 2 задания правильно:
\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \frac{648}{1024} = \frac{376}{1024} \]
Упростим дробь:
\[ P(X \geq 2) = \frac{94}{256} \text{ или } \frac{47}{128} \]
Ответ: Вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет \(\frac{47}{128}\).
