Давайте подробно разберем каждую из задач, чтобы понять их решение.
Задача 1: Рукопожатия
Условие: Шестеро баронов при встрече обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано всего рукопожатий?
Решение:
Когда один барон пожимает руку другому, это одно рукопожатие. Если у нас есть 6 баронов, каждый из них пожимает руки другим 5 баронам. Но при этом, если мы посчитаем рукопожатия так, то каждое рукопожатие будет посчитано дважды (один раз для каждого барона).
Чтобы найти количество уникальных рукопожатий, можем использовать формулу для сочетаний:
[
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( n ) — количество баронов. Подставим ( n = 6 ):
[
C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2} = 15
]
Таким образом, было сделано 15 рукопожатий.
Задача 2: Деревни и дороги
Условие: В королевстве 50 деревень. Из каждой деревни выходит по 4 дороги. Сколько всего дорог в этом королевстве?
Решение:
Если из каждой деревни выходит по 4 дороги, то, на первый взгляд, можно просто умножить количество деревень на количество дорог из каждой:
[
50 \times 4 = 200
]
Однако, это действие посчитает каждую дорогу дважды (по одной для каждой деревни на концах дороги), потому что дорога соединяет две деревни.
Чтобы найти общее количество уникальных дорог, мы делим результат на 2:
[
\frac{200}{2} = 100
]
Таким образом, в королевстве 100 дорог.
Задача 3: Дороги между деревнями
Условие: Возможно ли в одном графстве построить дороги между 25 деревнями так, чтобы из каждой деревни выходило по 5 дорог?
Решение:
Чтобы определить, возможно ли это, используем концепцию степени вершин в графах. Каждая деревня будет представлять вершину, а дорога — рёбра между ними.
Если из каждой деревни выходит по 5 дорог, то общее количество "выходов" из деревень:
[
25 \times 5 = 125
]
Этот показатель (125) должен быть четным, так как каждая дорога соединяет две деревни (двойной счёт). Но 125 — нечетное число, что означает, что нельзя построить такое количество дорог, чтобы из каждой деревни выходило ровно 5 дорог.
Таким образом, это невозможно.
Задача 4: Планеты в Математической Галактике
Условие: В Математической Галактике есть девять планет с названиями-цифрами: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для того чтобы добраться с одной планеты на другую, двузначное число, составленное из названий этих планет, должно делиться на три. Можно ли добраться с планеты 1 на планету 9?
Решение:
Двузначное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Таким образом, мы должны рассмотреть все возможные комбинации цифр, состоящие из двух планет, которые дают в сумме число, делящееся на 3.
Для начала, найдем остатки от деления цифр на 3:
- 1 (1)
- 2 (2)
- 3 (0)
- 4 (1)
- 5 (2)
- 6 (0)
- 7 (1)
- 8 (2)
- 9 (0)
Суммируя по остаткам:
- Остаток 0: 3, 6, 9
- Остаток 1: 1, 4, 7
- Остаток 2: 2, 5, 8
Чтобы 1 и 9 могли получить число, совместно нужно их сложить с другим числом:
- 1 + 2 = 3 → 12
- 1 + 5 = 6 → 15
- 1 + 8 = 9 → 18
- 4 + 9 = 13 (не подходит)
- 7 + 9 = 16 (не подходит)
Таким образом, чтобы добраться с планеты 1 на планету 9, можно использовать промежуточные планеты 2, 5, и 8. Путешественник может лететь:
1 → 2 → 9 или
1 → 5 → 9 или
1 → 8 → 9.
Таким образом, путешественник сможет добраться с планеты 1 на планету 9 через планеты 2, 5, или 8.
