Решим предложенные вами уравнения по шагам.
Задача 1: Графическое решение уравнения
Уравнение:
[
\frac{-8}{x} = -2 - x
]
- Умножим обе стороны на (x) (при условии, что (x \neq 0)):
[
-8 = (-2 - x)x
]
[
-8 = -2x - x^2
]
- Приведем уравнение к стандартному виду:
[
x^2 - 2x - 8 = 0
]
- Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
]
[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} \Rightarrow x_1 = 4, x_2 = -2
]
Задача 2: Решение уравнения
Уравнение:
[
\frac{x^2}{x+2} = \frac{10 - 3x}{x+2}
]
Так как (x \neq -2), умножим обе стороны на (x + 2):
[
x^2 = 10 - 3x
]
Приведем к стандартному виду:
[
x^2 + 3x - 10 = 0
]
Решим квадратное уравнение:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
]
[
x_1, x_2 = \frac{-3 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -5
]
Задача 3: Решение уравнения
Уравнение:
[
\frac{x}{x-3} = \frac{7x + 35}{x^2 - 25} = 2
]
Сначала разложим знаменатель на множители:
[
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
]
Теперь уравнение можно записать как:
[
\frac{x}{x-3} = \frac{7(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = 2
]
Умножим обе стороны на ( (x - 5)(x + 5)(x - 3)), учитывая, что (x \neq 3), (x \neq 5), и (x \neq -5):
[
x(x - 5)(x + 5) = 2(x + 5)(x - 3)
]
Решим уравнение:
- Раскроем скобки и соберем все в одну часть:
[
x^3 - 25x = 2x^2 - 6x + 10
]
- Перейдем к стандартному виду:
[
x^3 - 2x^2 - 19x - 10 = 0
]
- Попробуем решить его, используя метод подбора или графически (можно использовать метод деления).
После нахождения корней проверяем их:
Проверка:
- Для (x = 2):
[
\frac{2}{2 - 3} = \frac{7 \cdot 2 + 35}{2 \cdot 2 - 25} = 2
] – подходит
- Для (x = -5):
- Не подходит, так как будет деление на ноль.
Таким образом, корни уравнений, которые мы нашли:
- (x = 4, -2)
- (x = 2, -5)
Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзаменам! Если нужны дополнительные пояснения или помощь, дайте знать.
