Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 19 шт., из которых с повидлом 4 шт. Х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения этой задачи о дисперсии случайной величины, давайте сначала определим, с чем мы имеем дело.

Мы имеем 19 пирожков, из которых 4 с повидлом. Таким образом, 15 пирожков не с повидлом.

Шаг 1: Определение вероятностей

Мы будем выбирать 2 пирожка случайным образом и определять, сколько из этих 2 пирожков с повидлом. Обозначим случайную величину \(X\) как количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных.

Случайная величина \(X\) может принимать значения 0, 1 или 2. Нам надо найти вероятности этих случаев.

1. Вероятность(\(P(X = 0)\)): Вероятность того, что оба пирожка не с повидлом: \[ P(X = 0) = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 пирожка из 15}}{\text{Количество способов выбрать 2 пирожка из 19}} = \frac{\binom{15}{2}}{\binom{19}{2}} \]

   Вычисляем: \[ \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105 \] \[ \binom{19}{2} = \frac{19 \cdot 18}{2} = 171 \] \[ P(X = 0) = \frac{105}{171} \approx 0.614 \]

2. Вероятность(\(P(X = 1)\)): Вероятность того, что один пирожок с повидлом, а другой без: \[ P(X = 1) = \frac{\text{Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 пирожок без}}{\text{Количество способов выбрать 2 пирожка из 19}} = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{15}{1}}{\binom{19}{2}} \] \[ \binom{4}{1} = 4, \quad \binom{15}{1} = 15 \] \[ P(X = 1) = \frac{4 \cdot 15}{171} = \frac{60}{171} \approx 0.351 \]

3. Вероятность(\(P(X = 2)\)): Вероятность того, что оба пирожка с повидлом: \[ P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{19}{2}} = \frac{6}{171} \approx 0.035 \]

Теперь мы имеем все вероятности:

• \(P(X = 0) \approx 0.614\)
• \(P(X = 1) \approx 0.351\)
• \(P(X = 2) \approx 0.035\)

Шаг 2: Математическое ожидание

Теперь вычислим математическое ожидание \(E(X)\): \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot 0.614 + 1 \cdot 0.351 + 2 \cdot 0.035 = 0 + 0.351 + 0.070 = 0.421 \]

Шаг 3: Дисперсия

Теперь найдем дисперсию \(D(X) = E(X^2) - (E(X))^2\).

Сначала найдем \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 + 0.351 + 4 \cdot 0.035 = 0.351 + 0.14 = 0.491 \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0.491 - (0.421)^2 \] \[ (0.421)^2 \approx 0.177 \] \[ D(X) = 0.491 - 0.177 = 0.314 \]

Итак, дисперсия случайной величины \(X\) равна \(0.314\), что округляется до 0.31.

Ответ

Дисперсия случайной величины \(X\) равна 0.31.