Для решения этой задачи о дисперсии случайной величины, давайте сначала определим, с чем мы имеем дело.
Мы имеем 19 пирожков, из которых 4 с повидлом. Таким образом, 15 пирожков не с повидлом.
Шаг 1: Определение вероятностей
Мы будем выбирать 2 пирожка случайным образом и определять, сколько из этих 2 пирожков с повидлом. Обозначим случайную величину (X) как количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных.
Случайная величина (X) может принимать значения 0, 1 или 2. Нам надо найти вероятности этих случаев.
Вероятность((P(X = 0))): Вероятность того, что оба пирожка не с повидлом:
[
P(X = 0) = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 пирожка из 15}}{\text{Количество способов выбрать 2 пирожка из 19}} = \frac{\binom{15}{2}}{\binom{19}{2}}
]
Вычисляем:
[
\binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105
]
[
\binom{19}{2} = \frac{19 \cdot 18}{2} = 171
]
[
P(X = 0) = \frac{105}{171} \approx 0.614
]
Вероятность((P(X = 1))): Вероятность того, что один пирожок с повидлом, а другой без:
[
P(X = 1) = \frac{\text{Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 пирожок без}}{\text{Количество способов выбрать 2 пирожка из 19}} = \frac{\binom{4}{1} \cdot \binom{15}{1}}{\binom{19}{2}}
]
[
\binom{4}{1} = 4, \quad \binom{15}{1} = 15
]
[
P(X = 1) = \frac{4 \cdot 15}{171} = \frac{60}{171} \approx 0.351
]
Вероятность((P(X = 2))): Вероятность того, что оба пирожка с повидлом:
[
P(X = 2) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{19}{2}} = \frac{6}{171} \approx 0.035
]
Теперь мы имеем все вероятности:
- (P(X = 0) \approx 0.614)
- (P(X = 1) \approx 0.351)
- (P(X = 2) \approx 0.035)
Шаг 2: Математическое ожидание
Теперь вычислим математическое ожидание (E(X)):
[
E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X) = 0 \cdot 0.614 + 1 \cdot 0.351 + 2 \cdot 0.035 = 0 + 0.351 + 0.070 = 0.421
]
Шаг 3: Дисперсия
Теперь найдем дисперсию (D(X) = E(X^2) - (E(X))^2).
Сначала найдем (E(X^2)):
[
E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2)
]
[
E(X^2) = 0 + 0.351 + 4 \cdot 0.035 = 0.351 + 0.14 = 0.491
]
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 0.491 - (0.421)^2
]
[
(0.421)^2 \approx 0.177
]
[
D(X) = 0.491 - 0.177 = 0.314
]
Итак, дисперсия случайной величины (X) равна (0.314), что округляется до 0.31.
Ответ
Дисперсия случайной величины (X) равна 0.31.
