Найти косинус угла векторов (AC; AD) при AC (1; 3), модуль AC = √10, при AD (-5; 2), модуль AD = √29

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \), мы можем воспользоваться формулой:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|} \]

где:

• \( \vec{AC} \cdot \vec{AD} \) — скалярное произведение векторов \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \),
• \( |\vec{AC}| \) и \( |\vec{AD}| \) — модули (длины) векторов \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \) соответственно.

Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов

Сначала найдем векторное произведение \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \):

\[ \vec{AC} = (1, 3) \quad \text{и} \quad \vec{AD} = (-5, 2) \]

Скалярное произведение вычисляется по формуле:

\[ \vec{AC} \cdot \vec{AD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \]

Подставляем значения:

\[ \vec{AC} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1 \]

Шаг 2: Найдем длины векторов

Длины векторов даны в задаче:

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{10} \quad \text{и} \quad |\vec{AD}| = \sqrt{29} \]

Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса угла

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} \]

Теперь вычислим произведение модулей:

\[ \sqrt{10} \cdot \sqrt{29} = \sqrt{10 \cdot 29} = \sqrt{290} \]

Шаг 4: Закончим вычисления

Таким образом, мы получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{290}} \]

Ответ

Косинус угла между векторами \( \vec{AC} \) и \( \vec{AD} \):

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{290}} \]

Теперь вы понимаете, как вычислить косинус угла между двумя векторами, используя скалярное произведение и длины векторов!