Чтобы найти косинус угла между векторами ( \vec{AC} ) и ( \vec{AD} ), мы можем воспользоваться формулой:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{AD}|}
]
где:
- ( \vec{AC} \cdot \vec{AD} ) — скалярное произведение векторов ( \vec{AC} ) и ( \vec{AD} ),
- ( |\vec{AC}| ) и ( |\vec{AD}| ) — модули (длины) векторов ( \vec{AC} ) и ( \vec{AD} ) соответственно.
Шаг 1: Найдем скалярное произведение векторов
Сначала найдем векторное произведение ( \vec{AC} ) и ( \vec{AD} ):
[
\vec{AC} = (1, 3) \quad \text{и} \quad \vec{AD} = (-5, 2)
]
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
[
\vec{AC} \cdot \vec{AD} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2
]
Подставляем значения:
[
\vec{AC} \cdot \vec{AD} = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1
]
Шаг 2: Найдем длины векторов
Длины векторов даны в задаче:
[
|\vec{AC}| = \sqrt{10} \quad \text{и} \quad |\vec{AD}| = \sqrt{29}
]
Шаг 3: Подставим значения в формулу для косинуса угла
Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:
[
\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}}
]
Теперь вычислим произведение модулей:
[
\sqrt{10} \cdot \sqrt{29} = \sqrt{10 \cdot 29} = \sqrt{290}
]
Шаг 4: Закончим вычисления
Таким образом, мы получаем:
[
\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{290}}
]
Ответ
Косинус угла между векторами ( \vec{AC} ) и ( \vec{AD} ):
[
\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{290}}
]
Теперь вы понимаете, как вычислить косинус угла между двумя векторами, используя скалярное произведение и длины векторов!
