Задача 3

Давайте решим каждую из задач по порядку:

Задача 1

Условие:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.

Решение:

1. Определите координаты точек A, B и C:

   • Точка A находится на пересечении горизонтальной линии 2 и вертикальной линии 2 (0, 2).
   • Точка B находится на пересечении горизонтальной линии 5 и вертикальной линии 1 (1, 5).
   • Точка C находится на пересечении горизонтальной линии 1 и вертикальной линии 4 (4, 1).

2. Уравнение прямой BC: Прямая проходит через точки B(1, 5) и C(4, 1). Наклон (k) рассчитывается как \((y2 - y1) / (x2 - x1) = (1 - 5) / (4 - 1) = -4/3\). Уравнение прямой в общем виде: \(y = kx + b\). Подставляем B(1, 5): \(5 = -\frac{4}{3} \cdot 1 + b\), \(b = \frac{19}{3}\). Уравнение прямой: \(y = -\frac{4}{3}x + \frac{19}{3}\).

3. Расстояние от точки до прямой: Формула расстояния \(d\) от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) равна: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

   Переписываем уравнение: \(-4x + 3y - 19 = 0\). Для точки A(0, 2): \[ d = \frac{|-4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 19|}{\sqrt{(-4)^2 + 3^2}} = \frac{|6 - 19|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{13}{5} = 2.6 \, \text{см} \]

Ответ: 2.6 см

Задача 2

Условие:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС.

Решение:

1. Определите координаты средней точки отрезка BC: Средняя точка \((x_m, y_m)\) находится как: \((x_m, y_m) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\). Для B(1, 5) и C(4, 1): \((x_m, y_m) = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{5 + 1}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 3 \right).\)

2. Расстояние от A до среднего BC: Используем формулу для расстояния между точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Для точек A(0, 2) и средней \(\left(\frac{5}{2}, 3\right)\): \[ d = \sqrt{ \left( \frac{5}{2} - 0 \right)^2 + (3 - 2)^2 } \] \[ d = \sqrt{ \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 1^2 } \] \[ d = \sqrt{ \frac{25}{4} + 1 } \] \[ d = \sqrt{ \frac{25}{4} + \frac{4}{4} } \] \[ d = \sqrt{ \frac{29}{4} } \] \[ d = \frac{\sqrt{29}}{2} \approx 2.69 \, \text{см} \]

Ответ: около 2.69 см

Каждая пункт решён по шагам, чтобы помочь в понимании методов решения.