В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, сначала нам нужно определить площадь этого треугольника и его полупериметр. Давайте выполним это шаг за шагом.

Шаг 1: Определяем основные данные

• Дано: основание \( a = 10 \) см и боковые стороны \( b = 13 \) см.

Шаг 2: Находим высоту треугольника

В равнобедренном треугольнике можно провести высоту из вершины к основанию, которая делит основание пополам. Таким образом, одна половина основания будет равна \( a/2 = 10/2 = 5 \) см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты \( h \) треугольника:

\[ h = \sqrt{b^2 - (a/2)^2} \] Подставим известные значения:

\[ h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Шаг 3: Находим площадь треугольника

Площадь \( S \) равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высоту} = \frac{1}{2} \times a \times h \]

Подставляем значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Находим полупериметр треугольника

Полупериметр \( p \) равен половине суммы всех сторон треугольника:

\[ p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 \times 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]

Шаг 5: Находим радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

Подставляем известные значения:

\[ r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ см} \]

Ответ

Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, равен примерно \( 3.33 \) см.