Объём куба ABCDA,B,C,D, равен 216. Точки К, М и Р - середины рёбер АВ, ВВ1, и ВС соответственно. Найдите объем пирамиды МКВР.

Для решения задачи начнем с определения основных величин и характеристик куба, а затем перейдем к вычислению объема пирамиды.

Шаг 1: Определим сторону куба

Объем куба выражается формулой: \[ V = a^3, \] где \( a \) — длина стороны куба.

В данной задаче объем куба равен 216, т.е.: \[ a^3 = 216. \]

Найдем сторону куба \( a \): \[ a = \sqrt[3]{216} = 6. \]

Шаг 2: Наносим куб в пространстве

Определим координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(6, 0, 0) \)
• \( C(6, 6, 0) \)
• \( D(0, 6, 0) \)
• \( A1(0, 0, 6) \)
• \( B1(6, 0, 6) \)
• \( C1(6, 6, 6) \)
• \( D1(0, 6, 6) \)

Шаг 3: Найдем координаты точек K, M и R

• Точка \( K \) (середина ребра AB): \[ K\left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = K(3, 0, 0). \]

• Точка \( M \) (середина ребра BB1): \[ M\left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6}{2}\right) = M(6, 0, 3). \]

• Точка \( R \) (середина ребра BC): \[ R\left(\frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = R(6, 3, 0). \]

Шаг 4: Определим координаты вершины K, M, R и V

Получили следующие координаты:

• \( K(3, 0, 0) \)
• \( M(6, 0, 3) \)
• \( R(6, 3, 0) \)
• Вершина \( V \) (первая вершина куба) имеет координаты \( K(0, 0, 0) \).

Шаг 5: Находите объем пирамиды

Объем пирамиды определяется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h, \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота.

5.1 Находим площадь основания треугольника MKR

Для нахождения площади треугольника, воспользуемся формулой площади треугольника через координаты вершин: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. \]

Подставим координаты M, K и R:

• \( M(6, 0, 3) \)
• \( K(3, 0, 0) \)
• \( R(6, 3, 0) \)

Площадь основания: \[ S = \frac{1}{2} \left| 6(0 - 0) + 3(0 - 3) + 6(3 - 0) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 - 9 + 18 \right| = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5. \]

5.2 Находим высоту

Находим высоту \( h \). Высота пирамиды \( V \) (вершина куба) до основания MKR равна расстоянию от V до плоскости, содержащей точки K, M, R. Поскольку основание MKR находится на уровне 0 (по координатам z), а V на уровне z=0, высота равна \( z \) координате V: \[ h = 6. \]

Шаг 6: Находим объем пирамиды MKVR

Теперь подставим все данные в формулу для объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 6 = \frac{27}{3} = 9. \]

Ответ

Объем пирамиды MКVR равен 9 кубических единиц.