Объём куба ABCDA,B,C,D, равен 216. Точки К, М и Р - середины рёбер АВ, ВВ1, и ВС соответственно. Найдите объем пирамиды МКВР.

Для решения данной задачи начнем с анализа данных, которые мы имеем:

1. Объем куба: Объем куба вычисляется по формуле \( V = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба. Из условия мы знаем, что \( V = 216 \).

   Найдем длину ребра куба: \[ a^3 = 216 \implies a = \sqrt[3]{216} = 6 \]

   Таким образом, длина ребра куба \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \) равна 6.

2. Координаты вершин куба: Предположим, что куб располагается в трехмерном пространстве следующим образом:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(6, 0, 0) \)
   • \( C(6, 6, 0) \)
   • \( D(0, 6, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, 6) \)
   • \( B_1(6, 0, 6) \)
   • \( C_1(6, 6, 6) \)
   • \( D_1(0, 6, 6) \)

3. Нахождение координат точек К, М, Р:

   • Точка \( K \) — середина ребра \( AB \): \[ K = \left( \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (3, 0, 0) \]
   • Точка \( M \) — середина ребра \( BB_1 \): \[ M = \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 6}{2} \right) = (6, 0, 3) \]
   • Точка \( R \) — середина ребра \( BC \): \[ R = \left( \frac{6 + 6}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (6, 3, 0) \]

4. Координаты точек пирамида МКВР:

   • \( M(6, 0, 3) \)
   • \( K(3, 0, 0) \)
   • \( V(6, 0, 0) \)
   • \( R(6, 3, 0) \)

5. Вычисление объема пирамиды: Объем пирамиды определяется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h \] где \( S \) — площадь основания, а \( h \) — высота пирамиды.

   В данной задаче основание пирамиды \( MKV \) является треугольником.

   • Найдем вершины треугольника \( MKV \):
     • \( M(6, 0, 3) \)
     • \( K(3, 0, 0) \)
     • \( V(6, 0, 0) \)

   Площадь треугольника: Площадь треугольника может быть найдена через формулу: \[ S = \frac{1}{2} \times | \vec{MK} \times \vec{MV} | \] где \( \vec{MK} = K - M = (3 - 6, 0 - 0, 0 - 3) = (-3, 0, -3) \) и \( \vec{MV} = V - M = (6 - 6, 0 - 0, 0 - 3) = (0, 0, -3) \).

   Вычисляем векторное произведение \( \vec{MK} \times \vec{MV} \): \[ \vec{MK} \times \vec{MV} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & -3 \end{vmatrix} = (-3)(-3)\hat{i} - (0)(0)\hat{j} + (0)(-3 - 0)(-3)\hat{k} = 9\hat{i} \] Модуль равен \( 9 \).

   Таким образом, площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \]

6. Высота пирамиды: Высота \( h \) пирамиды — это расстояние от точки \( M \) до плоскости, которая содержит точку \( K \) и \( V \) (так как они лежат в одной плоскости); Эта высота равна \( 3 \) (координата по оси \( z \) точки \( M \)).

   Теперь можем найти объем: \[ V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4.5 \times 3 = 4.5 \]

Таким образом, объем пирамиды \( M K V R \) равен \( 4.5 \) кубических единиц.