2х(х-8) ≥-х-18
Давайте решим неравенство \( 2x(x - 8) \ge -x - 18 \) шаг за шагом.
Шаг 1: Раскроем скобки
Сначала раскроим левую часть неравенства:
\[ 2x(x - 8) = 2x^2 - 16x \]
Теперь запишем неравенство с раскрытой скобкой:
\[ 2x^2 - 16x \ge -x - 18 \]
Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону
Чтобы все члены были в одной части неравенства, перенесем правую часть в левую:
\[ 2x^2 - 16x + x + 18 \ge 0 \]
Упрощаем:
\[ 2x^2 - 15x + 18 \ge 0 \]
Шаг 3: Проверка дискриминанта
Теперь решим квадратное неравенство, для этого найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81 \]
Шаг 4: Найдем корни
Теперь найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 15x + 18 = 0\) с помощью формулы корней:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 9}{4} \]
Находим корни:
- \( x_1 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6 \)
- \( x_2 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
Шаг 5: Анализ знаком функции
Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = \frac{3}{2} \). Чтобы определить, где функция \(2x^2 - 15x + 18\) принимает неотрицательные значения, сделаем знаковую таблицу.
- Выбираем интервалы: \((-∞, \frac{3}{2})\), \((\frac{3}{2}, 6)\), \((6, ∞)\).
- Проверим знаки в каждом интервале.
Интервал \((-∞, \frac{3}{2})\): Подставим \(x = 0\): \[ 2(0)^2 - 15(0) + 18 = 18 > 0 \]
Интервал \((\frac{3}{2}, 6)\): Подставим \(x = 4\): \[ 2(4)^2 - 15(4) + 18 = 32 - 60 + 18 = -10 < 0 \]
Интервал \((6, ∞)\): Подставим \(x = 7\): \[ 2(7)^2 - 15(7) + 18 = 98 - 105 + 18 = 11 > 0 \]
Шаг 6: Результат
Теперь мы можем заключить, что неравенство \(2x^2 - 15x + 18 \ge 0\) выполняется на следующих отрезках:
\[ x \in (-∞, \frac{3}{2}] \cup [6, ∞) \]
Таким образом, ответ на неравенство \(2x(x - 8) \ge -x - 18\) будет:
\[ x \le \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x \ge 6 \]
