2х(х-8) ≥-х-18

Давайте решим неравенство \( 2x(x - 8) \ge -x - 18 \) шаг за шагом. ### Шаг 1: Раскроем скобки Сначала раскроим левую часть неравенства: \[ 2x(x - 8) = 2x^2 - 16x \] Теперь запишем неравенство с раскрытой скобкой: \[ 2x^2 - 16x \ge -x - 18 \] ### Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону Чтобы все члены были в одной части неравенства, перенесем правую часть в левую: \[ 2x^2 - 16x + x + 18 \ge 0 \] Упрощаем: \[ 2x^2 - 15x + 18 \ge 0 \] ### Шаг 3: Проверка дискриминанта Теперь решим квадратное неравенство, для этого найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81 \] ### Шаг 4: Найдем корни Теперь найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 15x + 18 = 0\) с помощью формулы корней: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 9}{4} \] Находим корни: 1. \( x_1 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6 \) 2. \( x_2 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) ### Шаг 5: Анализ знаком функции Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = \frac{3}{2} \). Чтобы определить, где функция \(2x^2 - 15x + 18\) принимает неотрицательные значения, сделаем знаковую таблицу. 1. Выбираем интервалы: \((-∞, \frac{3}{2})\), \((\frac{3}{2}, 6)\), \((6, ∞)\). 2. Проверим знаки в каждом интервале. - **Интервал \((-∞, \frac{3}{2})\)**: Подставим \(x = 0\): \[ 2(0)^2 - 15(0) + 18 = 18 > 0 \] - **Интервал \((\frac{3}{2}, 6)\)**: Подставим \(x = 4\): \[ 2(4)^2 - 15(4) + 18 = 32 - 60 + 18 = -10 < 0 \] - **Интервал \((6, ∞)\)**: Подставим \(x = 7\): \[ 2(7)^2 - 15(7) + 18 = 98 - 105 + 18 = 11 > 0 \] ### Шаг 6: Результат Теперь мы можем заключить, что неравенство \(2x^2 - 15x + 18 \ge 0\) выполняется на следующих отрезках: \[ x \in (-∞, \frac{3}{2}] \cup [6, ∞) \] Таким образом, ответ на неравенство \(2x(x - 8) \ge -x - 18\) будет: \[ x \le \frac{3}{2} \quad \text{или} \quad x \ge 6 \]