Бабушка в честь приезда внуков напелка пирожки, их качество равно 16 штук из которых с повидлом шесть штук. X - количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найдите дисперсию случайной величины X При расчетах ответы округляй до сотых

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать понятия комбинаторики и вероятность. Рассмотрим, как найти дисперсию случайной величины \(X\), где \(X\) — это количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбираемых. ### 1. Определение элементов задачи: - Общее количество пирожков (всего): \(N = 16\) - Количество пирожков с повидлом: \(k = 6\) - Количество пирожков без повидла: \(N - k = 16 - 6 = 10\) ### 2. Вероятность выбора пирожков: Для случайной величины \(X\) возможные значения — 0, 1 и 2 (это количество пирожков с повидлом среди двух выбранных). #### Вероятности для различных значений \(X\): 1. \(P(X = 0)\): Вероятность того, что оба выбраны пирожки без повидла. \[ P(X = 0) = \frac{\binom{10}{2}}{\binom{16}{2}} = \frac{45}{120} = 0.375 \] (где \(\binom{n}{k}\) — это число способов выбрать \(k\) элементов из \(n\)) 2. \(P(X = 1)\): Вероятность того, что выбран один пирожок с повидлом и один без. \[ P(X = 1) = \frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{10}{1}}{\binom{16}{2}} = \frac{6 \cdot 10}{120} = 0.5 \] 3. \(P(X = 2)\): Вероятность того, что оба выбраны пирожки с повидлом. \[ P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{16}{2}} = \frac{15}{120} = 0.125 \] ### 3. Ожидаемое значение \(E(X)\): Теперь мы можем найти ожидаемое значение \(E(X)\): \[ E(X) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot 0.375 + 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.125 = 0 + 0.5 + 0.25 = 0.75 \] ### 4. Ожидаемое значение \(E(X^2)\): Теперь найдем \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 \cdot 0.375 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.125 = 0 + 0.5 + 0.5 = 1 \] ### 5. Дисперсия \(D(X)\): Теперь мы можем найти дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] \[ D(X) = 1 - (0.75)^2 = 1 - 0.5625 = 0.4375 \] Округляя до сотых, мы получаем: \[ \text{Дисперсия } D(X) = 0.44 \] ### Результат: Дисперсия случайной величины \(X\) равна **0.44**.