Для решения данной задачи воспользуемся законом Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами.
Формулировка закона Кулона выглядит так:
[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} ]
где:
- ( F ) — сила взаимодействия между зарядами,
- ( k ) — электростатическая постоянная (приблизительно равна ( 8.99 \times 10^9 , \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 )),
- ( q_1 ) и ( q_2 ) — величины электрических зарядов,
- ( r ) — расстояние между зарядами.
Для начала введем обозначения:
- Пусть заряд ( q_1 ) изменяется и становится ( q_1' = \frac{q_1}{4} ) (уменьшился в 4 раза),
- Заряд ( q_2 ) остаётся без изменений ( q_2 = q_2 ),
- Новая сила ( F' = 2F ) (увеличилась в 2 раза).
Сначала запишем начальное уравнение силы взаимодействия:
[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} ]
Теперь запишем уравнение для новой силы:
[ F' = k \cdot \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} ]
Подставим известные нам величины для новой силы:
[ 2F = k \cdot \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} ]
Подставим выражение для ( F ):
[ 2 \cdot \left( k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \right) = k \cdot \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} ]
Сократим на ( k ) (при условии, что ( k \neq 0 )):
[ 2 \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} = \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} ]
Упрощаем правую часть:
[ 2 \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} = \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{4 \cdot r'^2} ]
Теперь избавимся от ( |q_1 \cdot q_2| ) (предполагаем, что оба заряда положительные):
[ 2 \cdot \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4 \cdot r'^2} ]
Теперь мы можем решить это уравнение на ( r' ):
Умножим обе стороны на ( 4 \cdot r^2 \cdot r'^2 ):
[ 8 \cdot r'^2 = r^2 ]
Теперь выразим ( r' ):
[ r'^2 = \frac{r^2}{8} ]
[ r' = \frac{r}{\sqrt{8}} = \frac{r}{2\sqrt{2}} ]
Таким образом, расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшилось до ( \frac{r}{2\sqrt{2}} ).
Ответ: Расстояние между зарядами изменилось, стало меньше - оно теперь составляет ( \frac{r}{2\sqrt{2}} ).
