как изменилось расстояние между двумя точечными электрическими зарядами, если заряд одного из них уменьшился в 4 раза, а сила их кулоновского взаимодействия увеличилась в 2 раза

Для решения данной задачи воспользуемся законом Кулона, который описывает силу взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами.

Формулировка закона Кулона выглядит так:

\[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]

где:

• \( F \) — сила взаимодействия между зарядами,
• \( k \) — электростатическая постоянная (приблизительно равна \( 8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2 \)),
• \( q_1 \) и \( q_2 \) — величины электрических зарядов,
• \( r \) — расстояние между зарядами.

Для начала введем обозначения:

• Пусть заряд \( q_1 \) изменяется и становится \( q_1' = \frac{q_1}{4} \) (уменьшился в 4 раза),
• Заряд \( q_2 \) остаётся без изменений \( q_2 = q_2 \),
• Новая сила \( F' = 2F \) (увеличилась в 2 раза).

Сначала запишем начальное уравнение силы взаимодействия:

\[ F = k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]

Теперь запишем уравнение для новой силы:

\[ F' = k \cdot \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} \]

Подставим известные нам величины для новой силы:

\[ 2F = k \cdot \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} \]

Подставим выражение для \( F \):

\[ 2 \cdot \left( k \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \right) = k \cdot \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} \]

Сократим на \( k \) (при условии, что \( k \neq 0 \)):

\[ 2 \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} = \frac{\left|\frac{q_1}{4} \cdot q_2\right|}{r'^2} \]

Упрощаем правую часть:

\[ 2 \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} = \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{4 \cdot r'^2} \]

Теперь избавимся от \( |q_1 \cdot q_2| \) (предполагаем, что оба заряда положительные):

\[ 2 \cdot \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4 \cdot r'^2} \]

Теперь мы можем решить это уравнение на \( r' \):

Умножим обе стороны на \( 4 \cdot r^2 \cdot r'^2 \):

\[ 8 \cdot r'^2 = r^2 \]

Теперь выразим \( r' \):

\[ r'^2 = \frac{r^2}{8} \]

\[ r' = \frac{r}{\sqrt{8}} = \frac{r}{2\sqrt{2}} \]

Таким образом, расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшилось до \( \frac{r}{2\sqrt{2}} \).

Ответ: Расстояние между зарядами изменилось, стало меньше - оно теперь составляет \( \frac{r}{2\sqrt{2}} \).