Дан прямоугольник A B C D ABCD . На стороне B C BC отметили точку N N и провели из неё отрезки N A NA и N D ND . Найди N D ND , если известно, что треугольник B N A BNA…

Для решения этой задачи начнём с анализа данных о прямоугольнике \(ABCD\) и отрезках \(NA\) и \(ND\).

1. Сначала обозначим известные параметры:

   • \(AB = 9\)
   • \(BC = 21\)

   Поскольку \(ABCD\) — это прямоугольник, мы можем определить остальные стороны:

   • \(AD = BC = 21\)
   • \(DC = AB = 9\)

2. Расположим точки на координатной плоскости:

   • Пусть \(A(0, 0)\)
   • Тогда \(B(0, 9)\)
   • \(C(21, 9)\)
   • \(D(21, 0)\)

   Теперь координаты вершин считаем так:

   • \(A(0, 0)\)
   • \(B(0, 9)\)
   • \(C(21, 9)\)
   • \(D(21, 0)\)

3. Найдём координаты \(N\): Точка \(N\) находится на стороне \(BC\), следовательно, её координаты будут:

   • \(N(0, y)\), где \(y\) находится между 0 и 9.

4. Дадим обозначения для отрезков \(NA\) и \(ND\):

   • \(NA\) — отрезок от \(N\) до \(A\).
   • \(ND\) — отрезок от \(N\) до \(D\).

   В исходных координатах у нас:

   • \(A = (0, 0)\)
   • \(N = (0, y)\)
   • \(D = (21, 0)\)

5. Выражение длины отрезка \(NA\): Длина отрезка \(NA\) равна расстоянию между точками \(N\) и \(A\): \[ NA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{y^2} = y \]

6. Выражение длины отрезка \(ND\): Длина отрезка \(ND\) равна расстоянию между точками \(N\) и \(D\): \[ ND = \sqrt{(0 - 21)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{21^2 + y^2} = \sqrt{441 + y^2} \]

7. Используем свойство равнобедренного треугольника \(BNA\): В треугольнике \(BNA\) стороны \(BA\) и \(BN\) равны, поэтому: \[ BA = BN \] Длина отрезка \(BA\) может быть найдена как: \[ BA = \sqrt{(0 - 0)^2 + (9 - 0)^2} = \sqrt{81} = 9 \]

   Длина отрезка \(BN\) равна: \[ BN = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 9)^2} = |y - 9| \] Таким образом, у нас есть уравнение: \[ |y - 9| = 9 \]

   Решая это уравнение, получаем два случая:

   1. \(y - 9 = 9 \Rightarrow y = 18\) (не подходит, так как \(y\) должно быть ≤9)
   2. \(y - 9 = -9 \Rightarrow y = 0\) (подходит)

8. Теперь мы можем найти \(ND\): Если \(y = 0\), то точка \(N\) совпадает с точкой \(A\): \[ ND = \sqrt{21^2 + 0^2} = \sqrt{441} = 21 \]

Таким образом, длина отрезка \(ND\) равна 21.