Найдите десятый член геометрической прогрессии, если известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого её членов равно −216.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как \( q \)). Первый член ГП обозначим как \( a \).
Члены геометрической прогрессии можно записать как:
- Первый член: \( a \)
- Второй член: \( a \cdot q \)
- Третий член: \( a \cdot q^2 \)
- Четвертый член: \( a \cdot q^3 \)
- Шестой член: \( a \cdot q^5 \)
- Двадцатый член: \( a \cdot q^{19} \)
В условии задачи указано, что произведение четвертого, шестого и двадцатого членов равно \(-216\): \[ (a \cdot q^3) \cdot (a \cdot q^5) \cdot (a \cdot q^{19}) = -216 \]
Теперь упростим это произведение: \[ a^3 \cdot q^{3 + 5 + 19} = -216 \] \[ a^3 \cdot q^{27} = -216 \]
Теперь мы можем выразить \( a^3 \): \[ a^3 = -\frac{216}{q^{27}} \]
Сначала найдем величину \( 216 \). Заметим, что \( 216 = -(-6)^3 \), поэтому можно записать: \[ a^3 = -\frac{-6^3}{q^{27}} \quad \text{или} \quad a^3 = \frac{6^3}{q^{27}}. \]
Теперь найдем десятый член геометрической прогрессии, который выражается как: \[ a \cdot q^9. \]
Так как мы знаем \( a^3 \), можем выразить \( a \) следующим образом: \[ a = \sqrt[3]{\frac{6^3}{q^{27}}} = \frac{6}{q^9}. \]
Теперь подставим \( a \) в формулу для десятого члена: \[ \text{Десятый член} = a \cdot q^9 = \left( \frac{6}{q^9} \right) \cdot q^9 = 6. \]
Итак, десятый член геометрической прогрессии равен \( 6 \).
