Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его как ( q )). Первый член ГП обозначим как ( a ).
Члены геометрической прогрессии можно записать как:
- Первый член: ( a )
- Второй член: ( a \cdot q )
- Третий член: ( a \cdot q^2 )
- Четвертый член: ( a \cdot q^3 )
- Шестой член: ( a \cdot q^5 )
- Двадцатый член: ( a \cdot q^{19} )
В условии задачи указано, что произведение четвертого, шестого и двадцатого членов равно (-216):
[
(a \cdot q^3) \cdot (a \cdot q^5) \cdot (a \cdot q^{19}) = -216
]
Теперь упростим это произведение:
[
a^3 \cdot q^{3 + 5 + 19} = -216
]
[
a^3 \cdot q^{27} = -216
]
Теперь мы можем выразить ( a^3 ):
[
a^3 = -\frac{216}{q^{27}}
]
Сначала найдем величину ( 216 ). Заметим, что ( 216 = -(-6)^3 ), поэтому можно записать:
[
a^3 = -\frac{-6^3}{q^{27}} \quad \text{или} \quad a^3 = \frac{6^3}{q^{27}}.
]
Теперь найдем десятый член геометрической прогрессии, который выражается как:
[
a \cdot q^9.
]
Так как мы знаем ( a^3 ), можем выразить ( a ) следующим образом:
[
a = \sqrt[3]{\frac{6^3}{q^{27}}} = \frac{6}{q^9}.
]
Теперь подставим ( a ) в формулу для десятого члена:
[
\text{Десятый член} = a \cdot q^9 = \left( \frac{6}{q^9} \right) \cdot q^9 = 6.
]
Итак, десятый член геометрической прогрессии равен ( 6 ).
