Арсений открыл в банке «Нереальный» накопительный счёт на два года со ставкой 10% годовых. Через год непосредственно перед начислением процентов он снял со счёта 3000 рублей, а…
Арсений открыл в банке «Нереальный» накопительный счёт на два года со ставкой 10% годовых. Через год непосредственно перед начислением процентов он снял со счёта 3000 рублей, а спустя ещё один год снова перед начислением процентов внёс обратно на счёт 3000 рублей. Определите, на сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге Арсений.
Чтобы решить задачу, давайте разберём её шаг за шагом.
Условие задачи
Арсений открыл накопительный счёт на 2 года со ставкой 10% годовых. Выясним, какую сумму он получит в конце, учитывая снятие и внесение денег.
Шаг 1: Определение запланированной суммы
Если бы Арсений не снимал и не вносил деньги, запланированная сумма (S) по окончании двух лет рассчитывалась бы по формуле для сложных процентов:
\[ S = P \cdot (1 + r)^t \] где:
- \(P\) — начальная сумма (в нашем случае её нет, но мы можем рассчитать изменения)
- \(r\) — годовая ставка (в данном случае 0.10)
- \(t\) — количество лет (2 года)
Обозначим начальную сумму как \(P = x\) (это произвольная сумма, мы потом увидим, что она не важна для ответа).
Шаг 2: Расчет через год
После первого года Арсений снимет 3000 рублей. Сначала рассчитаем, сколько будет на счёте через год:
\[ S_1 = x \cdot (1 + 0.10) = x \cdot 1.10 \] Через год Арсений снимает 3000 рублей, соответственно, на счёте остаётся:
\[ S_1' = S_1 - 3000 = x \cdot 1.10 - 3000 \]
Шаг 3: Расчет на второй год
Теперь вычислим состояние счёта через год после снятия, перед тем как внесём 3000 рублей обратно.
Проценты будут начисляться на сумму \(S_1'\):
\[ S_2 = S_1' \cdot (1 + 0.10) = (x \cdot 1.10 - 3000) \cdot 1.10 \]
Шаг 4: Внесение 3000 рублей
После начисления процентов Арсений вновь вносит 3000 рублей:
\[ S_2' = S_2 + 3000 \]
Шаг 5: Полный расчёт
Подставим все выражения:
- Вычислим \(S_2\):
\[ S_2 = (x \cdot 1.10 - 3000) \cdot 1.10 = x \cdot 1.10^2 - 3000 \cdot 1.10 \]
- Теперь посчитаем \(S_2'\):
\[ S_2' = (x \cdot 1.10^2 - 3000 \cdot 1.10) + 3000 \] \[ = x \cdot 1.10^2 - 3000 \cdot 1.10 + 3000 \]
Шаг 6: Определение окончательной разницы
Теперь давайте найдем, на сколько меньше это значение, чем если бы он не снимал и не вносил деньги. Мы знаем, что изначально запланированная сумма была:
\[ S = x \cdot 1.10^2 \]
Теперь сравним \(S\) и \(S_2'\):
Разница (на сколько меньше):
\[ D = S - S_2' = x \cdot 1.10^2 - (x \cdot 1.10^2 - 3000 \cdot 1.10 + 3000) \] \[ = 3000 \cdot 1.10 - 3000 \] \[ = 3000 \cdot (1.10 - 1) = 3000 \cdot 0.10 = 300 \]
Таким образом, Арсений получил на 300 рублей меньше запланированной суммы.
