Log1/6((10-x)(x-3))>=-1

Решим неравенство \( \log_{1/6}((10-x)(x-3)) \geq -1 \). ### Шаг 1: Переписываем неравенство Сначала перепишем неравенство в более удобной форме. Мы знаем, что \( \log_{a}(b) \geq c \) можно переписать как \( b \geq a^c \). В нашем случае: \[ (10-x)(x-3) \geq (1/6)^{-1} \] Вспомним, что \( (1/6)^{-1} = 6 \): \[ (10-x)(x-3) \geq 6 \] ### Шаг 2: Упростим неравенство Теперь у нас есть неравенство: \[ (10-x)(x-3) - 6 \geq 0 \] Решим его: 1. Раскроем скобки: \((10-x)(x-3) = 10x - 30 - x^2 + 3x = -x^2 + 13x - 30\). Итак, у нас получается: \[ -x^2 + 13x - 30 - 6 \geq 0 \] \[ -x^2 + 13x - 36 \geq 0 \] 2. Умножим обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак): \[ x^2 - 13x + 36 \leq 0 \] ### Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 13x + 36 = 0 \) с помощью дискриминанта: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \). Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -13, c = 36 \): \[ x_{1,2} = \frac{13 \pm 5}{2} \] Теперь считаем корни: \[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{8}{2} = 4 \] ### Шаг 4: Определяем интервалы Имя корней показывает, что наш многочлен \( x^2 - 13x + 36 \) меняет знак в точках \( x = 4 \) и \( x = 9 \). Теперь проверяем знаки на интервалах: - Для \( x < 4 \): \( x^2 - 13x + 36 \) > 0 (например, подставим \( x = 0 \)) - Для \( 4 < x < 9 \): \( x^2 - 13x + 36 \) < 0 (например, подставим \( x = 5 \)) - Для \( x > 9 \): \( x^2 - 13x + 36 \) > 0 (например, подставим \( x = 10 \)) ### Шаг 5: Итоговое решение Неравенство выполнено на интервале: \[ 4 \leq x \leq 9 \] ### Условие логарифма Также нужно учитывать, что под логарифмом должно быть больше нуля: \[ (10-x)(x-3) > 0 \] 1. \( 10-x > 0 \Rightarrow x < 10 \) 2. \( x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 \) На интервале \( (3, 10) \) заданное условие будет выполнено. ### Объединение условий Таким образом, учитывая все условия, окончательный ответ будет: \[ x \in [4, 9] \] Это и есть решение нашего неравенства.