log1/6((10-x)(x-3))>=-1
Решим неравенство \( \log_{1/6}((10-x)(x-3)) \geq -1 \).
Шаг 1: Переписываем неравенство
Сначала перепишем неравенство в более удобной форме. Мы знаем, что \( \log_{a}(b) \geq c \) можно переписать как \( b \geq a^c \). В нашем случае:
\[ (10-x)(x-3) \geq (1/6)^{-1} \]
Вспомним, что \( (1/6)^{-1} = 6 \):
\[ (10-x)(x-3) \geq 6 \]
Шаг 2: Упростим неравенство
Теперь у нас есть неравенство:
\[ (10-x)(x-3) - 6 \geq 0 \]
Решим его:
- Раскроем скобки: \((10-x)(x-3) = 10x - 30 - x^2 + 3x = -x^2 + 13x - 30\).
Итак, у нас получается:
\[ -x^2 + 13x - 30 - 6 \geq 0 \] \[ -x^2 + 13x - 36 \geq 0 \]
- Умножим обе стороны на -1 (неравенство поменяет знак):
\[ x^2 - 13x + 36 \leq 0 \]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения
Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - 13x + 36 = 0 \) с помощью дискриминанта:
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \).
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Здесь \( a = 1, b = -13, c = 36 \):
\[ x_{1,2} = \frac{13 \pm 5}{2} \]
Теперь считаем корни:
\[ x_1 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]
Шаг 4: Определяем интервалы
Имя корней показывает, что наш многочлен \( x^2 - 13x + 36 \) меняет знак в точках \( x = 4 \) и \( x = 9 \). Теперь проверяем знаки на интервалах:
- Для \( x < 4 \): \( x^2 - 13x + 36 \) > 0 (например, подставим \( x = 0 \))
- Для \( 4 < x < 9 \): \( x^2 - 13x + 36 \) < 0 (например, подставим \( x = 5 \))
- Для \( x > 9 \): \( x^2 - 13x + 36 \) > 0 (например, подставим \( x = 10 \))
Шаг 5: Итоговое решение
Неравенство выполнено на интервале:
\[ 4 \leq x \leq 9 \]
Условие логарифма
Также нужно учитывать, что под логарифмом должно быть больше нуля:
\[ (10-x)(x-3) > 0 \]
- \( 10-x > 0 \Rightarrow x < 10 \)
- \( x-3 > 0 \Rightarrow x > 3 \)
На интервале \( (3, 10) \) заданное условие будет выполнено.
Объединение условий
Таким образом, учитывая все условия, окончательный ответ будет:
\[ x \in [4, 9] \]
Это и есть решение нашего неравенства.
