Реши контрольную работу по математике

Для решения задач начнем по порядку.

1. Вычислите производные функции в точке \(x_0\):

а) \( f(x) = \ln \frac{x}{2} \), \( x_0 = e \)

Производная функции \( f(x) = \ln \frac{x}{2} \) находится через правило производной сложной функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\ln \frac{x}{2}\right) = \frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2x} \]

Подставляем \( x_0 = e \):

\[ f'(e) = \frac{1}{2e} \]

б) \( f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \), \( x_0 = \frac{\pi}{4} \)

Функция \( f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \).

Производная функции \( \tan x \) равна \( \sec^2 x \):

\[ f'(x) = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \]

Подставляем \( x_0 = \frac{\pi}{4} \):

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

2. Найдите уравнение касательной к функции:

Функция \( f(x) = 3x + 2x \) в точке \( x_0 = 2 \).

Определяем значение функции и ее производную в точке:

\[ f(x) = 3x + 2x = 5x \] \[ f(2) = 5 \times 2 = 10 \]

Производная \( f'(x) = 5 \). Уравнение касательной: \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \).

Подставляем:

\[ y = 5(x - 2) + 10 = 5x - 10 + 10 = 5x \]

3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке \(-3 \leq x \leq 2\):

Функция \( f(x) = x^3 - 9x + 5 \).

Находим критические точки, решаем \( f'(x) = 0 \):

\[ f'(x) = 3x^2 - 9 \] \[ 3x^2 - 9 = 0 \] \[ x^2 = 3 \] \[ x = \pm\sqrt{3} \]

Проверяем значения в критических точках и на концах отрезка:

\( f(-3), f(-\sqrt{3}), f(\sqrt{3}), f(2) \).

• \( f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 5 = -27 + 27 + 5 = 5 \)
• \( f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) + 5 = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 5 = 6\sqrt{3} + 5 \)
• \( f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9\sqrt{3} + 5 = 3\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 5 = -6\sqrt{3} + 5 \)
• \( f(2) = 8 - 18 + 5 = -5 \)

Максимальное значение: \( 6\sqrt{3} + 5 \). Минимальное значение: \(-5\).

4. Найдите интервалы монотонности функции:

\( f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 5 \).

Находим производную:

\[ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x \]

Разложим на множители: \[ f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2) \] \[ = 4x(x - 1)(x - 2) \]

Критические точки: \( x = 0, 1, 2 \).

Знаки \( f'(x) \) на интервалах:

• на \((-\infty, 0)\), знак зависимости от нулей указывает на \(-\),
• на \((0, 1)\), знак дает \(+\),
• на \((1, 2)\), дает \(-\),
• на \((2, \infty)\), дает \(+\).

Интервалы возрастания: \((0, 1) \cup (2, \infty)\), Интервалы убывания: \((-\infty, 0) \cup (1, 2)\).

5. Вычислите производные функции:

\( f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x} \).

Упростим: \( f(x) = x + 2 \) (разделим числитель на знаменатель).

Производная: \( f'(x) = 1 \).

Готово! Если у вас есть вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать.