найти катеты прямоугольного треугольника если гипотенуза и один из острых углов соответственно равны 12см и 45°

Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и один из острых углов, мы можем использовать тригонометрические функции: синус и косинус.

Дано:

• Гипотенуза (c) = 12 см
• Один из острых углов (α) = 45°

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c, катет, противолежащий углу α, обозначим как a, а катет, прилежащий к углу α, обозначим как b.

Шаг 1: Находим катет a (противолежащий углу α)

Используем синус угла для нахождения противоположного катета: \[ \sin(α) = \frac{a}{c} \] Подставляем известные значения: \[ \sin(45°) = \frac{a}{12} \] Мы знаем, что \(\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставим это значение: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{12} \]

Теперь решим уравнение относительно a: \[ a = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 \, \text{см} \]

Шаг 2: Находим катет b (прилежащий к углу α)

Используем косинус угла для нахождения прилежащего катета: \[ \cos(α) = \frac{b}{c} \] Подставляем известные значения: \[ \cos(45°) = \frac{b}{12} \] Так как \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), у нас получается: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{12} \]

Решим уравнение относительно b: \[ b = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 \, \text{см} \]

Ответ:

Оба катета a и b равны:

• Катет a (противолежащий углу 45°) = \(6\sqrt{2} \approx 8.49 \, \text{см}\).
• Катет b (прилежащий к углу 45°) = \(6\sqrt{2} \approx 8.49 \, \text{см}\).

Таким образом, мы нашли катеты прямоугольного треугольника, используя свойства тригонометрии.