Чтобы найти катеты прямоугольного треугольника, зная длину гипотенузы и один из острых углов, мы можем использовать тригонометрические функции: синус и косинус.
Дано:
- Гипотенуза (c) = 12 см
- Один из острых углов (α) = 45°
В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c, катет, противолежащий углу α, обозначим как a, а катет, прилежащий к углу α, обозначим как b.
Шаг 1: Находим катет a (противолежащий углу α)
Используем синус угла для нахождения противоположного катета:
[
\sin(α) = \frac{a}{c}
]
Подставляем известные значения:
[
\sin(45°) = \frac{a}{12}
]
Мы знаем, что (\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}). Подставим это значение:
[
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{12}
]
Теперь решим уравнение относительно a:
[
a = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 , \text{см}
]
Шаг 2: Находим катет b (прилежащий к углу α)
Используем косинус угла для нахождения прилежащего катета:
[
\cos(α) = \frac{b}{c}
]
Подставляем известные значения:
[
\cos(45°) = \frac{b}{12}
]
Так как (\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}), у нас получается:
[
\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{12}
]
Решим уравнение относительно b:
[
b = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8.49 , \text{см}
]
Ответ:
Оба катета a и b равны:
- Катет a (противолежащий углу 45°) = (6\sqrt{2} \approx 8.49 , \text{см}).
- Катет b (прилежащий к углу 45°) = (6\sqrt{2} \approx 8.49 , \text{см}).
Таким образом, мы нашли катеты прямоугольного треугольника, используя свойства тригонометрии.
