Найдите десятый член геометрической прогрессии если известно что произведение четвёртого, шестого и двадцатого её членов равно -216
Чтобы найти десятый член геометрической прогрессии (ГП), для начала вспомним, что любой член геометрической прогрессии можно выразить через первый член \( a \) и общее отношение \( q \). Формула для \( n \)-го члена ГП выглядит так:
\[ a_n = a \cdot q^{n-1} \]
В данном случае нам известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого членов ГП равно -216. Запишем это в терминах \( a \) и \( q \):
- Четвёртый член: \( a_4 = a \cdot q^{4-1} = a \cdot q^3 \)
- Шестой член: \( a_6 = a \cdot q^{6-1} = a \cdot q^5 \)
- Двадцатый член: \( a_{20} = a \cdot q^{20-1} = a \cdot q^{19} \)
Теперь найдём произведение этих членов:
\[ a_4 \cdot a_6 \cdot a_{20} = (a \cdot q^3) \cdot (a \cdot q^5) \cdot (a \cdot q^{19}) \]
Упростим это выражение:
\[ = a^3 \cdot q^{3+5+19} = a^3 \cdot q^{27} \]
По условию задачи это произведение равно -216. Запишем уравнение:
\[ a^3 \cdot q^{27} = -216 \]
Теперь нужно немного поработать с этим уравнением. Мы можем записать -216 как куб:
\[ -216 = -6^3 \]
Это подразумевает, что мы можем взять:
\[ a = -6 \quad \text{и} \quad q^{27} = 1 \]
Так как \( q^{27} = 1 \), это может означать, что \( q = 1 \) или \( q = -1 \).
Если \( q = 1 \): В этом случае каждый член прогрессии равен \( a \), и прогрессия становится постоянной: \[ a_n = -6 \quad \text{для всех } n \] Тогда десятый член \( a_{10} = -6 \).
Если \( q = -1 \): Члены прогрессии чередуются: \[ a_n = -6 \quad \text{если } n \text{ чётное}, \quad a_n = 6 \quad \text{если } n \text{ нечётное} \] Так как 10 — это чётное число, то десятый член будет: \[ a_{10} = -6 \]
Таким образом, в обоих случаях мы приходим к следующему результату:
\[ \text{Десятый член геометрической прогрессии равен } -6. \]
