Чтобы найти десятый член геометрической прогрессии (ГП), для начала вспомним, что любой член геометрической прогрессии можно выразить через первый член ( a ) и общее отношение ( q ). Формула для ( n )-го члена ГП выглядит так:
[
a_n = a \cdot q^{n-1}
]
В данном случае нам известно, что произведение четвёртого, шестого и двадцатого членов ГП равно -216. Запишем это в терминах ( a ) и ( q ):
- Четвёртый член: ( a_4 = a \cdot q^{4-1} = a \cdot q^3 )
- Шестой член: ( a_6 = a \cdot q^{6-1} = a \cdot q^5 )
- Двадцатый член: ( a_{20} = a \cdot q^{20-1} = a \cdot q^{19} )
Теперь найдём произведение этих членов:
[
a_4 \cdot a_6 \cdot a_{20} = (a \cdot q^3) \cdot (a \cdot q^5) \cdot (a \cdot q^{19})
]
Упростим это выражение:
[
= a^3 \cdot q^{3+5+19} = a^3 \cdot q^{27}
]
По условию задачи это произведение равно -216. Запишем уравнение:
[
a^3 \cdot q^{27} = -216
]
Теперь нужно немного поработать с этим уравнением. Мы можем записать -216 как куб:
[
-216 = -6^3
]
Это подразумевает, что мы можем взять:
[
a = -6 \quad \text{и} \quad q^{27} = 1
]
Так как ( q^{27} = 1 ), это может означать, что ( q = 1 ) или ( q = -1 ).
Если ( q = 1 ):
В этом случае каждый член прогрессии равен ( a ), и прогрессия становится постоянной:
[
a_n = -6 \quad \text{для всех } n
]
Тогда десятый член ( a_{10} = -6 ).
Если ( q = -1 ):
Члены прогрессии чередуются:
[
a_n = -6 \quad \text{если } n \text{ чётное}, \quad a_n = 6 \quad \text{если } n \text{ нечётное}
]
Так как 10 — это чётное число, то десятый член будет:
[
a_{10} = -6
]
Таким образом, в обоих случаях мы приходим к следующему результату:
[
\text{Десятый член геометрической прогрессии равен } -6.
]
