Самостоятельная работа по теме: « Решение задач с помощью систем уравнений» Вариант 1 1. Задуманы два натуральных числа. Найдите эти числа, если их произведение равно 48, a их…

Давайте по порядку разберем каждую из заданных задач, используя методы систем уравнений.

Задача 1:

Задуманы два натуральных числа. Найдите эти числа, если их произведение равно 48, а их сумма равна 16.

1. Обозначим искомые числа как \( x \) и \( y \).

2. Составим уравнения на основе условий задачи:

   • Условие 1: \( x \cdot y = 48 \)
   • Условие 2: \( x + y = 16 \)

3. Из второго уравнения выразим одно из чисел через другое: \[ y = 16 - x \]

4. Подставим это выражение во первое уравнение: \[ x \cdot (16 - x) = 48 \]

5. Раскроем скобки и преобразуем уравнение: \[ 16x - x^2 = 48 \] Перепишем его в стандартной форме: \[ x^2 - 16x + 48 = 0 \]

6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 256 - 192 = 64 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.

7. Найдем корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{16 \pm 8}{2} \] \[ x_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{8}{2} = 4 \]

8. Таким образом, получаем числа \( x = 12 \) и \( y = 4 \) или наоборот. Проверяем: \[ 12 + 4 = 16 \quad \text{и} \quad 12 \cdot 4 = 48 \]

Ответ: Натуральные числа: 12 и 4.

Задача 2:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого.

1. Обозначим меньший катет как \( x \), тогда больший катет будет \( x + 7 \).

2. По теореме Пифагора: \[ x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \]

3. Разложим квадрат второго катета: \[ x^2 + (x^2 + 14x + 49) = 169 \] Сложим похожие слагаемые: \[ 2x^2 + 14x + 49 = 169 \]

4. Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 14x - 120 = 0 \]

5. Упростим уравнение: \[ x^2 + 7x - 60 = 0 \]

6. Найдем дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289 \]

7. Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 17}{2} \] Получаем: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{-24}{2} = -12 \]

8. Поскольку \( x \) должно быть положительным, берем \( x = 5 \). Тогда больший катет: \[ x + 7 = 12 \]

Ответ: Катеты треугольника: 5 см и 12 см.

Задача 3:

Легковой автомобиль за 3,5 часа проехал то же расстояние, что и грузовой за 5 часов. Найдите их скорости, если известно, что легковой автомобиль двигался на 30 км/ч быстрее грузового.

1. Обозначим скорость грузового автомобиля как \( v \) км/ч. Тогда скорость легкового автомобиля будет \( v + 30 \) км/ч.

2. Используем формулу: \[ \text{Расстояние} = \text{Скорость} \times \text{Время} \]

   Мы знаем, что оба автомобиля проехали одно и то же расстояние в разное время: \[ v \cdot 5 = (v + 30) \cdot 3.5 \]

3. Раскроем скобки и составим уравнение: \[ 5v = 3.5v + 105 \]

4. Переносим все члены к одной стороне: \[ 5v - 3.5v = 105 \] \[ 1.5v = 105 \]

5. Найдем \( v \): \[ v = \frac{105}{1.5} = 70 \text{ км/ч} \]

6. Таким образом, скорость легкового автомобиля: \[ v + 30 = 100 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорости автомобилей: грузовой - 70 км/ч, легковой - 100 км/ч.