(cos3x•x^a) вычислить производную

Давайте вычислим производную функции \( f(x) = \cos(3x) \cdot x^a \) с помощью правила произведения. Это правило гласит, что производная произведения двух функций равна производной первой функции, умноженной на вторую, плюс первая функция, умноженная на производную второй функции.

1. Записываем функцию:
   \( f(x) = \cos(3x) \cdot x^a \)

2. Обозначаем функции:
   Пусть:

   • \( u = \cos(3x) \) (первая функция)
   • \( v = x^a \) (вторая функция)

3. Находим производные \( u \) и \( v \):

   • Для функции \( u = \cos(3x) \) используем цепное правило: \[ u' = -\sin(3x) \cdot (3) = -3\sin(3x) \]
   • Для функции \( v = x^a \) используем правило степеней: \[ v' = a \cdot x^{a-1} \]

4. Применяем правило произведения:
   Теперь можем воспользоваться правилом произведения: \[ f'(x) = u'v + uv' \] Подставим найденные производные: \[ f'(x) = (-3\sin(3x)) \cdot (x^a) + (\cos(3x)) \cdot (a \cdot x^{a-1}) \] Упрощаем: \[ f'(x) = -3x^a \sin(3x) + a x^{a-1} \cos(3x) \]

5. Итоговое выражение:
   Таким образом, производная функции \( f(x) = \cos(3x) \cdot x^a \) равна: \[ f'(x) = -3x^a \sin(3x) + a x^{a-1} \cos(3x) \]

Это и есть ответ! Если есть дополнительные вопросы или нужны пояснения, дайте знать!