В годовой контрольной работе пять задач в каждой из которых четыре варианта ответа для того чтобы не отправиться на пересдачу ученику нужно решить верно хотя бы два задания Ваня…
В годовой контрольной работе пять задач в каждой из которых четыре варианта ответа для того чтобы не отправиться на пересдачу ученику нужно решить верно хотя бы два задания Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад В каком случае вероятность успеха состоит п равняется 1/4 Какова вероятность того что они не пойдёт на пересдачу?
Для решения данной задачи о вероятности, давайте разберем ее по шагам.
Понимание задачи: В контрольной работе есть 5 задач, на каждую из которых 4 варианта ответа. Чтобы не попасть на пересдачу, Ване необходимо правильно ответить хотя бы на 2 задачи.
Вероятность успеха на одной задаче: Поскольку Ваня выбирает ответы наугад и на каждой задаче 4 варианта, вероятность того, что он ответит правильно на одну задачу, равна \( p = \frac{1}{4} \). Вероятность ошибки в каждой задаче составит \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \).
Модель задачи: Мы можем использовать биномиальное распределение для данной ситуации, где:
- n = 5 (число задач),
- p = \( \frac{1}{4} \) (вероятность успешного ответа),
- k = количество успешных ответов.
Нам нужно найти вероятность того, что Ваня ответит правильно хотя бы на 2 задачи. Это можно сделать, посчитав вероятность верных ответов для 2, 3, 4 и 5 задач и сложив эти вероятности.
Формула биномиального распределения:
Вероятность того, что из n испытаний (задач) k из них будут успешными, определяется формулой: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где \( C(n, k) \) — это число сочетаний из n по k, вычисляется по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]Вычисления. Теперь найдем вероятности для k = 2, 3, 4 и 5:
Для k = 2: \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{3} = 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \]
Для k = 3: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{90}{1024} \]
Для k = 4: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1} = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024} \]
Для k = 5: \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0} = 1 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024} \]
- Сложим вероятности: Теперь сложим найденные вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу: \[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{270 + 90 + 15 + 1}{1024} = \frac{376}{1024} \] Упрощаем, делим числитель и знаменатель на 8: \[ P(X \geq 2) = \frac{47}{128} \approx 0.3671875 \]
Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, составляет примерно 0.3672 или 36.72%.
