В годовой контрольной работе пять задач в каждой из которых четыре варианта ответа для того чтобы не отправиться на пересдачу ученику нужно решить верно хотя бы два задания Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад В каком случае вероятность успеха состоит п равняется 1/4 Какова вероятность того что они не пойдёт на пересдачу?
Для решения данной задачи о вероятности, давайте разберем ее по шагам.
1. **Понимание задачи:** В контрольной работе есть 5 задач, на каждую из которых 4 варианта ответа. Чтобы не попасть на пересдачу, Ване необходимо правильно ответить хотя бы на 2 задачи.
2. **Вероятность успеха на одной задаче:** Поскольку Ваня выбирает ответы наугад и на каждой задаче 4 варианта, вероятность того, что он ответит правильно на одну задачу, равна \( p = \frac{1}{4} \). Вероятность ошибки в каждой задаче составит \( q = 1 - p = \frac{3}{4} \).
3. **Модель задачи:** Мы можем использовать биномиальное распределение для данной ситуации, где:
- n = 5 (число задач),
- p = \( \frac{1}{4} \) (вероятность успешного ответа),
- k = количество успешных ответов.
4. **Нам нужно найти вероятность того, что Ваня ответит правильно хотя бы на 2 задачи.** Это можно сделать, посчитав вероятность верных ответов для 2, 3, 4 и 5 задач и сложив эти вероятности.
5. **Формула биномиального распределения:**
Вероятность того, что из n испытаний (задач) k из них будут успешными, определяется формулой:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
где \( C(n, k) \) — это число сочетаний из n по k, вычисляется по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
6. **Вычисления.** Теперь найдем вероятности для k = 2, 3, 4 и 5:
- **Для k = 2:**
\[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{3} = 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{270}{1024}
\]
- **Для k = 3:**
\[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{90}{1024}
\]
- **Для k = 4:**
\[
P(X = 4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1} = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024}
\]
- **Для k = 5:**
\[
P(X = 5) = C(5, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0} = 1 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}
\]
7. **Сложим вероятности:**
Теперь сложим найденные вероятности, чтобы получить общую вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу:
\[
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{270 + 90 + 15 + 1}{1024} = \frac{376}{1024}
\]
Упрощаем, делим числитель и знаменатель на 8:
\[
P(X \geq 2) = \frac{47}{128} \approx 0.3671875
\]
Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, составляет примерно 0.3672 или 36.72%.
