В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окруж-ности, вписанной в этот треугольник.
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, можно использовать формулу:
\[ r = \frac{S}{p} \]
где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр треугольника.
Находим полупериметр \( p \): Основание \( a = 10 \) см, боковые стороны \( b = 13 \) см (каждая). Полупериметр рассчитывается как:
\[ p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{10 + 2 \cdot 13}{2} = \frac{10 + 26}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]
Находим площадь \( S \): Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу через высоту. Сперва найдем высоту \( h \), опущенную из вершины к основанию:
В равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам, поэтому основание каждого из двух прямоугольных треугольников составляет \( \frac{10}{2} = 5 \) см.
Теперь можно применить теорему Пифагора:
\[ h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
Площадь треугольника тогда будет:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2 \]
Теперь подставим \( S \) и \( p \) в формулу для радиуса:
\[ r = \frac{S}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ см} \]
Таким образом, радиус окружности, вписанной в этот треугольник, составляет \( \frac{10}{3} \) см или примерно 3.33 см.
