Давайте разберёмся с данной задачей пошагово.
Условие задачи говорит о том, что у нас есть 12 учащихся, и нам нужно выбрать 4 лыжника для эстафеты.
Это задача на комбинаторику, и мы будем использовать формулу для выбора (комбинации), поскольку порядок не важен.
Формула для вычисления количества способов выбрать ( k ) элементов из ( n ) элементов выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
где:
- ( C(n, k) ) — количество комбинаций,
- ( n ) — общее число элементов (в нашем случае, 12),
- ( k ) — количество выбираемых элементов (в нашем случае, 4),
- ( ! ) — факториал числа.
Теперь подставим наши значения в формулу. В нашем случае ( n = 12 ) и ( k = 4 ):
[
C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12 - 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!}
]
Теперь можем упростить выражение. Обратите внимание, что ( 12! ) можно выразить как ( 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! ). Поэтому мы можем сократить ( 8! ):
[
C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!}
]
Теперь нужно вычислить ( 4! ):
[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
]
Таким образом, теперь у нас есть:
[
C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24}
]
Теперь умножим числители:
[
12 \times 11 = 132
]
[
132 \times 10 = 1320
]
[
1320 \times 9 = 11880
]
Таким образом, мы имеем:
[
C(12, 4) = \frac{11880}{24}
]
Теперь делим:
[
\frac{11880}{24} = 495
]
Итак, количество способов выбрать 4 лыжника из 12 учащихся составляет 495.
Таким образом, ответ на задачу: 495 способов.
