Для эстафеты, состоящей из четырёх этапов, надо отобрать участников. а) Сколькими способами можно составить команду из четырёх лыжников, если в классе 12 учащихся имеют золотой…

Давайте разберёмся с данной задачей пошагово.

Условие задачи говорит о том, что у нас есть 12 учащихся, и нам нужно выбрать 4 лыжника для эстафеты.

Это задача на комбинаторику, и мы будем использовать формулу для выбора (комбинации), поскольку порядок не важен.

Формула для вычисления количества способов выбрать \( k \) элементов из \( n \) элементов выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

где:

• \( C(n, k) \) — количество комбинаций,
• \( n \) — общее число элементов (в нашем случае, 12),
• \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае, 4),
• \( ! \) — факториал числа.

Теперь подставим наши значения в формулу. В нашем случае \( n = 12 \) и \( k = 4 \):

\[ C(12, 4) = \frac{12!}{4!(12 - 4)!} = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \]

Теперь можем упростить выражение. Обратите внимание, что \( 12! \) можно выразить как \( 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \). Поэтому мы можем сократить \( 8! \):

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{4! \cdot 8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} \]

Теперь нужно вычислить \( 4! \):

\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]

Таким образом, теперь у нас есть:

\[ C(12, 4) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{24} \]

Теперь умножим числители:

\[ 12 \times 11 = 132 \]

\[ 132 \times 10 = 1320 \]

\[ 1320 \times 9 = 11880 \]

Таким образом, мы имеем:

\[ C(12, 4) = \frac{11880}{24} \]

Теперь делим:

\[ \frac{11880}{24} = 495 \]

Итак, количество способов выбрать 4 лыжника из 12 учащихся составляет 495.

Таким образом, ответ на задачу: 495 способов.