4

Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке \( O(6; 5) \), проходящей через точку \( M(6; -1) \), нужно использовать стандартное уравнение окружности:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \]

где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(R\) — радиус.

Шаги решения:

1. Подставьте координаты центра в уравнение.

   У нас центр окружности в точке \( O(6; 5) \).

   Подставляем эти значения в уравнение окружности:

   \[ (x - 6)^2 + (y - 5)^2 = R^2 \]

2. Вычислите радиус с использованием точки на окружности.

   Поскольку точка \( M(6; -1) \) лежит на окружности, её координаты должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляем \( (x, y) = (6, -1) \):

   \[ (6 - 6)^2 + (-1 - 5)^2 = R^2 \]

   \[ 0 + (-6)^2 = R^2 \]

   \[ 36 = R^2 \]

   Таким образом, \( R = 6 \).

3. Запишите полное уравнение окружности.

   Теперь, когда мы знаем радиус, уравнение окружности будет:

   \[ (x - 6)^2 + (y - 5)^2 = 36 \]

Это уравнение окружности с центром в точке \( O(6; 5) \), проходящей через точку \( M(6; -1) \).