Из четырёхзначных чисел наугад выбирают одно число. Қакова вероятность, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит не более двух цифр 7?
Чтобы решить эту задачу, необходимо сначала определить общую количество четырёхзначных чисел, а затем количество чисел, которые содержат не более двух цифр 7. После этого мы сможем найти вероятность того, что при случайном выборе будет выбрано число, соответствующее условию.
Шаг 1: Определим общее количество четырёхзначных чисел.
Четырёхзначные числа находятся в пределах от 1000 до 9999. Для того чтобы подсчитать их количество, воспользуемся следующей формулой:
\[ 9999 - 1000 + 1 = 9000. \]
Итак, всего существует 9000 четырёхзначных чисел.
Шаг 2: Определим количество четырёхзначных чисел, содержащих не более двух цифр 7.
Мы рассмотрим три случая:
- Случай 1: Нет цифр 7.
- Случай 2: Одна цифра 7.
- Случай 3: Две цифры 7.
1. Случай 1: Нет цифр 7.
Четырёхзначное число можно представить как \( ABCD \), где \( A, B, C, D \) — цифры.
- Цифра \( A \) (первая цифра) может принимать значения от 1 до 9, исключая 7 (то есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) — всего 8 вариантов.
- Цифры \( B, C, D \) могут принимать значения от 0 до 9, исключая 7 (то есть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9) — всего 9 вариантов для каждой.
Итак, количество четырёхзначных чисел без цифр 7:
\[ 8 \times 9 \times 9 \times 9 = 5832. \]
2. Случай 2: Одна цифра 7.
Чтобы добавить одну 7, нужно выбрать одно из четырёх мест (A, B, C, D) для цифры 7, на каждом из этих мест:
- Если 7 находится на первом месте (\( A \)), то \( B, C, D \) не могут быть равны 7 и могут принимать значения, как в первом случае. Это дает \( 9 \times 9 \times 9 = 729 \).
- Если 7 находится на втором, третьем или четвертом месте, то \( A \) также не может быть 7 и может принимать 8 значений (1-6, 8, 9). Остальные два разряда могут принимать 9 значений.
Для случая, когда 7 находится на местах \( B, C, D \):
\[ 3 \times (8 \times 9 \times 9) = 3 \times 648 = 1944. \]
Общее количество для случая, когда присутствует одна 7:
\[ 729 + 1944 = 2673. \]
3. Случай 3: Две цифры 7.
Здесь нужно выбрать 2 места из 4 для размещения цифры 7. Это можно сделать \(\binom{4}{2} = 6\) способами.
Рассмотрим, что для оставшегося 2 разряда:
- Если 7 в первых двух позициях \( (A=7 \text{ или } 7, B=7)\), тогда \( A \) не может равняться 0.
- Если 7 находится на первых двух позициях, оставшиеся места могут иметь 8 вариантов.
Общее число комбинаций для двух 7:
\[ 6 \times (8 \times 9) = 6 \times 72 = 432. \]
Шаг 3: Сложим количество чисел из всех случаев.
Теперь складываем результаты всех случаев:
\[ 5832 \text{ (нет 7)} + 2673 \text{ (одна 7)} + 432 \text{ (две 7)} = 1537. \]
Шаг 4: Найдем количество чисел, которые содержат 3 или более цифр 7.
Четырёхзначные числа, содержащие 3 или более 7, будут равны:
\[ 9000 - (5832 + 2673 + 432) = 9000 - 5832 - 2673 - 432 = 63. \]
Шаг 5: Находим вероятность
Теперь можем найти вероятность, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит не более двух цифр 7:
\[ P = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{1537}{9000}. \]
Общая вероятность:
\[ P \approx 0.1719. \]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что будет выбрано число, десятичная запись которого содержит не более двух цифр 7, составляет примерно \( 0.1719 \) или \( 17.19\% \).
