4. Даны результаты забегов двух учеников на 200 метров в секундах: Ученик А – 30, 32, 31, 29, 30, и Ученик В 28, 31, 30, 33, 29. Сравните стандартные отклонения этих двух…

Чтобы сравнить стабильность результатов учеников А и В, нам нужно вычислить стандартные отклонения их забегов. Стандартное отклонение позволяет оценить, насколько разбросаны результаты относительно среднего значения. Давайте по шагам разберем, как это сделать.

Шаг 1: Найдем средние значения

1. Ученик А:

   • Результаты: 30, 32, 31, 29, 30
   • Сумма результатов \( S_A = 30 + 32 + 31 + 29 + 30 = 152 \)
   • Количество забегов \( n_A = 5 \)
   • Среднее значение \( \bar{x}_A = \frac{S_A}{n_A} = \frac{152}{5} = 30.4 \)

2. Ученик В:

   • Результаты: 28, 31, 30, 33, 29
   • Сумма результатов \( S_B = 28 + 31 + 30 + 33 + 29 = 151 \)
   • Количество забегов \( n_B = 5 \)
   • Среднее значение \( \bar{x}_B = \frac{S_B}{n_B} = \frac{151}{5} = 30.2 \)

Шаг 2: Найдем отклонения от среднего

Теперь найдем отклонения каждого результата от среднего и затем их квадраты.

1. Ученик А:

   • Отклонения:
     • \( 30 - 30.4 = -0.4 \)
     • \( 32 - 30.4 = 1.6 \)
     • \( 31 - 30.4 = 0.6 \)
     • \( 29 - 30.4 = -1.4 \)
     • \( 30 - 30.4 = -0.4 \)
   • Квадраты отклонений:
     • \( (-0.4)^2 = 0.16 \)
     • \( (1.6)^2 = 2.56 \)
     • \( (0.6)^2 = 0.36 \)
     • \( (-1.4)^2 = 1.96 \)
     • \( (-0.4)^2 = 0.16 \)

2. Ученик В:

   • Отклонения:
     • \( 28 - 30.2 = -2.2 \)
     • \( 31 - 30.2 = 0.8 \)
     • \( 30 - 30.2 = -0.2 \)
     • \( 33 - 30.2 = 2.8 \)
     • \( 29 - 30.2 = -1.2 \)
   • Квадраты отклонений:
     • \( (-2.2)^2 = 4.84 \)
     • \( (0.8)^2 = 0.64 \)
     • \( (-0.2)^2 = 0.04 \)
     • \( (2.8)^2 = 7.84 \)
     • \( (-1.2)^2 = 1.44 \)

Шаг 3: Найдем средние квадраты отклонений

1. Ученик А:

   • Сумма квадратов отклонений \( S_{A^2} = 0.16 + 2.56 + 0.36 + 1.96 + 0.16 = 5.2 \)
   • Дисперсия \( D_A = \frac{S_{A^2}}{n_A} = \frac{5.2}{5} = 1.04 \)
   • Стандартное отклонение \( \sigma_A = \sqrt{D_A} = \sqrt{1.04} \approx 1.02 \)

2. Ученик В:

   • Сумма квадратов отклонений \( S_{B^2} = 4.84 + 0.64 + 0.04 + 7.84 + 1.44 = 14.8 \)
   • Дисперсия \( D_B = \frac{S_{B^2}}{n_B} = \frac{14.8}{5} = 2.96 \)
   • Стандартное отклонение \( \sigma_B = \sqrt{D_B} = \sqrt{2.96} \approx 1.72 \)

Шаг 4: Сравнение стабильности

• Стандартное отклонение:
  • Ученик А: \( \sigma_A \approx 1.02 \)
  • Ученик В: \( \sigma_B \approx 1.72 \)

Вывод

Ученик А имеет более низкое стандартное отклонение (приблизительно 1.02) по сравнению с учеником В (приблизительно 1.72). Это означает, что результаты ученика А более стабильны и менее разбросаны вокруг среднего значения.