Классе больше 20, но меньше 35 человек. Каждый мальчик в этом классе дружит ровно с семью девочками, а каждая девочка — ровно с восемью мальчиками. Сколько учеников в классе?

Давайте решим задачу пошагово. 1. **Обозначим переменные**: - Пусть \(m\) — количество мальчиков в классе. - Пусть \(g\) — количество девочек в классе. - Поскольку в классе всего больше 20, но меньше 35 человек, можем записать неравенство: \(20 < m + g < 35\). 2. **Используем данные о дружбе**: - Каждый мальчик дружит с 7 девочками. Это значит, что общее количество дружеских связей, исходящих от мальчиков, равно \(7m\). - Каждая девочка дружит с 8 мальчиками. Это значит, что общее количество дружеских связей, исходящих от девочек, равно \(8g\). 3. **Составим уравнение**: - Эти два количества должны быть равны, поскольку каждая связь считается с двух сторон. Таким образом, можем записать уравнение: \[ 7m = 8g \] 4. **Выразим одну переменную через другую**: - Выразим \(g\) через \(m\): \[ g = \frac{7m}{8} \] 5. **Подставим в неравенство**: - Подставим значение \(g\) в условие о количестве учеников: \[ 20 < m + \frac{7m}{8} < 35 \] - Приведем к общему знаменателю: \[ 20 < \frac{8m + 7m}{8} < 35 \] - Упростим: \[ 20 < \frac{15m}{8} < 35 \] - Умножим все части неравенства на 8: \[ 160 < 15m < 280 \] - Разделим на 15: \[ \frac{160}{15} < m < \frac{280}{15} \] - Посчитаем: \[ \frac{160}{15} \approx 10.67 \quad \text{и} \quad \frac{280}{15} \approx 18.67 \] - Получаем: \[ 11 < m < 18 \] - Это значит, что \(m\) может принимать значения от 12 до 18 (целые числа). 6. **Находим \(g\)**: - Подставим возможные значения \(m\) и найдем соответствующие значения \(g\): - Если \(m = 12\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 12}{8} = 10.5\) (не подходит). - Если \(m = 13\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 13}{8} = 11.375\) (не подходит). - Если \(m = 14\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 14}{8} = 12.25\) (не подходит). - Если \(m = 15\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 15}{8} = 13.125\) (не подходит). - Если \(m = 16\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 16}{8} = 14\) (подходит). - Если \(m = 17\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 17}{8} = 14.875\) (не подходит). - Если \(m = 18\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 18}{8} = 15.75\) (не подходит). Из всех значений только \(m = 16\) и \(g = 14\) дают целое число. 7. **Итог**: - Общее количество учеников в классе: \[ m + g = 16 + 14 = 30 \] В классе 30 учеников.