классе больше 20, но меньше 35 человек. Каждый мальчик в этом классе дружит ровно с семью девочками, а каждая девочка — ровно с восемью мальчиками. Сколько учеников в классе?

Давайте решим задачу пошагово.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть \(m\) — количество мальчиков в классе.
   • Пусть \(g\) — количество девочек в классе.
   • Поскольку в классе всего больше 20, но меньше 35 человек, можем записать неравенство: \(20 < m + g < 35\).

2. Используем данные о дружбе:

   • Каждый мальчик дружит с 7 девочками. Это значит, что общее количество дружеских связей, исходящих от мальчиков, равно \(7m\).
   • Каждая девочка дружит с 8 мальчиками. Это значит, что общее количество дружеских связей, исходящих от девочек, равно \(8g\).

3. Составим уравнение:

   • Эти два количества должны быть равны, поскольку каждая связь считается с двух сторон. Таким образом, можем записать уравнение: \[ 7m = 8g \]

4. Выразим одну переменную через другую:

   • Выразим \(g\) через \(m\): \[ g = \frac{7m}{8} \]

5. Подставим в неравенство:

   • Подставим значение \(g\) в условие о количестве учеников: \[ 20 < m + \frac{7m}{8} < 35 \]
   • Приведем к общему знаменателю: \[ 20 < \frac{8m + 7m}{8} < 35 \]
   • Упростим: \[ 20 < \frac{15m}{8} < 35 \]
   • Умножим все части неравенства на 8: \[ 160 < 15m < 280 \]
   • Разделим на 15: \[ \frac{160}{15} < m < \frac{280}{15} \]
   • Посчитаем: \[ \frac{160}{15} \approx 10.67 \quad \text{и} \quad \frac{280}{15} \approx 18.67 \]
   • Получаем: \[ 11 < m < 18 \]
   • Это значит, что \(m\) может принимать значения от 12 до 18 (целые числа).

6. Находим \(g\):

   • Подставим возможные значения \(m\) и найдем соответствующие значения \(g\):
     • Если \(m = 12\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 12}{8} = 10.5\) (не подходит).
     • Если \(m = 13\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 13}{8} = 11.375\) (не подходит).
     • Если \(m = 14\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 14}{8} = 12.25\) (не подходит).
     • Если \(m = 15\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 15}{8} = 13.125\) (не подходит).
     • Если \(m = 16\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 16}{8} = 14\) (подходит).
     • Если \(m = 17\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 17}{8} = 14.875\) (не подходит).
     • Если \(m = 18\), тогда: \(g = \frac{7 \cdot 18}{8} = 15.75\) (не подходит).

Из всех значений только \(m = 16\) и \(g = 14\) дают целое число.

7. Итог:
   • Общее количество учеников в классе: \[ m + g = 16 + 14 = 30 \]

В классе 30 учеников.