Для того чтобы понять, как изменится потенциальная энергия взаимодействия двух точечных тел при изменении их зарядов и расстояния, воспользуемся формулой потенциальной энергии электростатического взаимодействия:
[ U = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r} ]
где:
- ( U ) — потенциальная энергия взаимодействия,
- ( k ) — электростатическая постоянная (константа),
- ( q_1 ) и ( q_2 ) — заряды точечных тел,
- ( r ) — расстояние между ними.
В задаче заряд двух точечных тел уменьшили в 8 раз, а расстояние между ними уменьшили в 7 раз. Давайте обозначим первоначальные заряды как ( q_1 ) и ( q_2 ), а начальное расстояние как ( r ). Тогда после изменений можно записать:
- Новый заряд:
[
q_1' = \frac{q_1}{8}, \quad q_2' = \frac{q_2}{8}
]
- Новое расстояние:
[
r' = \frac{r}{7}
]
Подставим новые значения в формулу потенциальной энергии:
[
U' = k \frac{|q_1' \cdot q_2'|}{r'}
]
Теперь подставим ( q_1' ) и ( q_2' ):
[
U' = k \frac{\left| \frac{q_1}{8} \cdot \frac{q_2}{8} \right|}{\frac{r}{7}}
]
Упрощая выражение, получаем:
[
U' = k \frac{\frac{|q_1 \cdot q_2|}{64}}{\frac{r}{7}} = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{64} \cdot \frac{7}{r}
]
Теперь сравним новое значение потенциальной энергии ( U' ) с первоначальным ( U ).
Мы знаем, что:
[
U = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r}
]
Теперь подставим его в вычисление отношения:
[
\frac{U'}{U} = \frac{k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{64} \cdot \frac{7}{r}}{k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r}}
]
Отменяем одинаковые множители:
[
\frac{U'}{U} = \frac{7}{64}
]
Теперь, чтобы найти, во сколько раз изменится потенциальная энергия, мы берем обратное отношение:
[
\text{Изменение} = \frac{U'}{U} = \frac{7}{64} \approx 0.109375
]
Таким образом, потенциальная энергия уменьшится в 64/7 ≈ 9.14 раз (берем обратное значение).
Ответ: Потенциальная энергия взаимодействия уменьшится примерно в 9.14 раз.
