Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны AB в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что BE=2, а BC — меньшее…

Для того чтобы решить задачу, начнем с того, что для находящейся среди всех заданных данных ближайшим необходимым будет установить необходимые значения и связи между элементами трапеции.

Дано:

• Радиус окружности \( r = 3 \)
• \( BE = 2 \)
• \( BC \) — меньшее основание трапеции (обозначим его как \( a \))
• Вершины трапеции: \( A \), \( B \), \( C \), \( D \)

Шаг 1: Определим элементы трапеции

Так как трапеция равнобедренная и окружность вписана в трапецию, это означает, что расстояние от центра окружности до каждой из боковых сторон трапеции равно радиусу окружности. Следовательно, обе боковые стороны \( AB \) и \( CD \) будут образовывать равные отрезки на основании трапеции.

Шаг 2: Установим систему координат

Примем точку \( B \) как начало координат, то есть \( B(0, 0) \). Так как \( BE = 2 \), то координаты точки \( E \) будут \( E(2, 0) \).

Шаг 3: Определение других вершин

Так как окружность касается боковой стороны \( AB \) в точке \( E \), мы можем сказать, что расстояние от \( E \) до основания \( CD \) (горизонтальное расстояние) равно \( r = 3 \). Поэтому по координатам точка \( D \) имеет координаты \( D(0, 3) \), а точка \( C \) будет находиться на линии \( y = 3 \) и по горизонтали еще на расстоянии \( a \) от точки \( B \).

Шаг 4: Высота трапеции

Теперь, учитывая, что высота трапеции равна радиусу окружности:

• Высота, проведённая от точки \( D \) до уровня линии \( AB \), составляет 3 единицы.

Шаг 5: Определим стороны

При этом, основание \( a \) равняется расстоянию между точками \( C \) и \( B \). По условию задано, что \( a = BE = 2\).

Теперь определим длины основания \( AB \) и \( CD \):

• Пусть длина большего основания \( AB \) равняется \( a + 2b \), где \( b \) — длина одного из равных боковых ребер. При этом получим, что благодаря равенству оснований имеем:
• Площадь трапеции можно определить по формуле: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \]

Шаг 6: Подсчет площади

Но в этом случае, так как \( a = 2 \) и высота \( h = 3 \), мы выразим площадь только с одним основанием так: \[ S = \frac{(2 + (2+3)) \cdot 3}{2} \]

Следовательно: \[ S = \frac{(2 + 5) \cdot 3}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \text{ (единицы квадрата)} \]

Ответ:

Площадь трапеции равна \( 10.5 \) единиц квадратных.